Teorema de la galería de arte: cómo saber cuántas cámaras de seguridad son necesarias para vigilar un espacio

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¿En qué consiste el Teorema de la galería de arte?

Ponte un café porque te vamos a contar un teorema, ¡y no es un teorema cualquiera! Es el teorema de la galería de arte. Te prometemos que si lo lees con atención, cuando hayas terminado el artículo, sabrás cómo calcular los lugares en los que debes situar las cámaras de seguridad para cubrir todo el perímetro que desees controlar. O, por lo menos, trataremos de alimentar tu curiosidad y enseñarte algo nuevo.

Teorema de la galería de arte

El teorema parte de la siguiente pregunta: ¿Cuántas cámaras de seguridad se necesitan y dónde deben colocarse para vigilar completamente una galería de arte? Y cuando decimos galería de arte, también nos referimos a una nave industrial, un bar o incluso al salón de tu casa. ¡Quién sabe! Hay gente para todo. Como verás en el episodio número 9 de Una matemática viene a verte, existe una fórmula para hacerlo y vamos a descubrirla.

En primer lugar, debemos precisar que cuando hablamos de la planta de una galería de arte, nos referimos al plano de su superficie. En general, este plano será un polígono simple.

Esto significa que sus lados solo se cortan en vértices, sin que los lados se crucen o se superpongan entre sí. Es una figura geométrica fácil de describir y analizar matemáticamente. También partimos del supuesto de que las cámaras de seguridad que vamos a colocar tienen una visión de 360 grados, lo que implica que pueden ver en todas las direcciones y a cualquier distancia, siempre y cuando no haya obstáculos, claro está.

Cálculos

El teorema de la galería de arte establece que, independientemente del polígono simple que conforma la planta de la galería, debemos dividir el número de vértices del polígono plano entre tres. Al resultado de esta operación, le quitamos los decimales y ese será el número máximo de cámaras necesarias para vigilar completamente la galería.

Fórmula con ejemplo del teorema de la galería de arte RTVE

Por ejemplo, si tenemos una galería cuya planta es un polígono simple de siete vértices y aplicamos el teorema: dividimos siete (el número de vértices) entre tres, obteniendo como resultado 2,33. Al quitar los decimales, nos quedamos con el número dos. Esto significa que necesitamos como máximo dos cámaras para vigilar toda la galería.

Ejemplo de cálculo con siete vértices RTVE

Es importante tener en cuenta que el teorema nos da el número máximo de cámaras necesarias, pero esto no significa que sea el número "suficiente". Es decir, es posible que, como vemos en el ejemplo, colocando una sola cámara podamos cubrir toda la superficie. Este es solo un ejemplo y es posible que te hayas quedado con ganas de ponerlo a prueba o, mejor aún, de saber cómo se demuestra. Si es así, tenemos una buena noticia: puedes ver la demostración detallada de este teorema en el capítulo 09 de Una matemática viene a verte.

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