Aprendemos en casa La 2

Aprendemos en casa

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Para todos los públicos Aprendemos en casa - De 14 a 16 años - Matemáticas - ver ahora
Transcripción completa

y ver cómo lo resuelve. Igual les sorprende.

(Música)

Muy buenas, ¿qué tal, matemaníacos y matemaníacas?

Os doy la bienvenida a la hora para pensar

en matemáticas para los que tenéis entre 14 y 16 años.

Soy Luis, vuestro profesor de Matemáticas.

¿Os acordáis de mí? ¿Sí?

¿No? Bueno, tampoco pasa nada.

¿Cómo ha ido la semana?

Espero que fenomenal y que hayáis tenido tiempo

para pensar un poco en las matemáticas que nos rodean.

Os tengo que felicitar por hacer que este confinamiento

sea lo más llevadero posible,

porque sois unos cracks y unas cracks.

Ha llegado el momento de darle al coco, observar,

hacer unos cálculos, que empiezan ahora de las Mates.

Hoy toca recordar a Pitágoras y a Tales.

Repasaréis sus teoremas y veréis algunas de sus aplicaciones.

También habrá vídeo sobre transformaciones geométricas.

Todas estas cosas tienen aplicaciones

prácticas reales, os lo recuerdo siempre.

Calcular la altura de un edificio a partir de la sombra que proyecta,

o la longitud de una rampa conociendo su inclinación

y la altura.

Ahora se ha reducido mucho el tráfico, tanto marítimo,

como aéreo, como terrestre.

Que sepáis que el teorema de Pitágoras

también se puede utilizar para estas cosas.

Se usa en la navegación en el mar para encontrar

la distancia más corta a un punto;

o en la aérea,

para encontrar el mejor punto de descenso

cuando conoces la distancia al aeropuerto

y la altura que llevas;

también en topografía,

para encontrar la altura de laderas y montañas.

¿Lo veis?

Por todas partes.

Bueno, bueno, no me enrollo más.

Estad muy pendientes a lo que nos van a contar los videos

que viene a continuación sobre geometría

porque cuando terminen volveré,

nos contaré una historia de muñecas rusas

y nos propondré un reto para pensar un poquito.

¿Que qué tendrán que ver las muñecas rusas con la geometría?

Bueno, pues ahí os dejo pensando poquito.

Nos vemos en pi medios.

(Música)

Hola a todos.

En este vídeo presentamos un resultado

importantísimo para triángulos rectángulos,

el teorema de Pitágoras.

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo, ya sabes,

es un triángulo con un ángulo de 90°,

un ángulo recto.

Ahí en pantalla tenemos un triángulo rectángulo.

Indicamos el ángulo recto con un cuadradito,

en lugar de con un arquito.

En un triángulo rectángulo llamaremos hipotenusa al lado largo.

Observad que es el lado que no toca el ángulo recto.

Se dice que es el lado opuesto al ángulo recto.

Los otros dos lados se les llama catetos.

Observa que estos son los lados que forman el ángulo recto.

Entonces, el teorema de Pitágoras dice:

Así, vamos a dibujar un nuevo triángulo rectángulo,

ahora de esta forma y, entonces,

supongamos que su hipotenusa mide "h"

y sus catetos miden "a" y "b".

Entonces, el teorema de Pitágoras dice

que la longitud de la hipotenusa al cuadrado, "h2",

es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos,

esto es "a2+b2".

Con ello logramos, por ejemplo,

que el teorema de Pitágoras sea más sencillo de enunciar.

Tendríamos entonces que el teorema de Pitágoras dice:

Presentemos algunos ejemplos

de aplicación del teorema de Pitágoras.

En el primer ejemplo consideramos el triángulo rectángulo

que aparece en pantalla.

Observad que es un triángulo rectángulo,

porque tenemos un ángulo recto, un ángulo de 90° y, como ves,

aparece un interrogante.

Tenemos que calcular la longitud de ese lado

donde aparece el interrogante.

Claramente es la hipotenusa.

Entonces, vamos a suponer que ese lado mide "h"

y vamos a calcular cuánto vale "h".

Entonces, ya sabes que la hipotenusa al cuadrado

es igual a cateto cuadrado,

pues ocho al cuadrado, más cateto cuadrado,

seis al cuadrado.

Bueno,

tengo que observar ahora que las longitudes

de los catetos vienen en centímetros.

Entonces, el resultado me va a dar en centímetros, y sin problemas,

¿eh?

Bueno, entonces aquí podemos calcular esto.

Ocho al cuadrado, eso te queda 64,

más seis al cuadrado, 36.

Entonces, bueno, 64 + 36, si haces esta suma, te queda 100,

Redondo.

Entonces, hemos obtenido que "h2" sería igual a 100,

de donde "h" sería la raíz cuadrada de 100.

Bueno, aquí hemos puesto solo resultado positivo,

porque ya sabes que "h" es una longitud y, por lo tanto,

siempre da positivo.

Esto te queda raíz de 100,

un número tal que al multiplicarlo por sí mismo de 100, es 10.

Por lo tanto, ya tenemos ahí la longitud de la hipotenusa es 10.

Entonces, la ponemos aquí.

¿10 qué?

Pues 10, la unidad común que nos daban, que es centímetros.

En el siguiente ejemplo,

consideramos el triángulo rectángulo que aparece en pantalla

y observa que nos piden la longitud de uno de sus lados.

Aparece un interrogante y tenemos las longitudes de otros dos.

Observa que tenemos la longitud de la hipotenusa,

que es 2 m y tenemos la longitud de uno de los catetos, que es 8 dm.

Las unidades de longitud son distintas, entonces,

aquí vamos a tener que realizar una conversión para poder trabajar.

Entonces, hay que expresarlo todo en metros o todo en decímetros.

Pues mira, para no trabajar con números decimales

pues vamos a pasar la unidad de longitud mayor, que es el metro,

a decímetros.

Tenemos 2 m.

Esto es, para pasar a decímetros multiplicamos por 10.

20 decímetros.

Entonces, así vamos a estar más cómodos

y, entonces, pues ya sabes, aplicamos el teorema de Pitágoras.

Supongamos que la longitud de este cateto sea "x".

Entonces, tenemos que la hipotenusa al cuadrado, o sea 20 al cuadrado,

sería igual a cateto al cuadrado, "x" al cuadrado,

más cateto al cuadrado, ocho al cuadrado.

Aquí trabajamos tranquilamente,

porque ya hemos expresado

todas las longitudes en la misma unidad de medida.

Entonces, ahora 20 al cuadrado es 20 × 20,

que lo puedes hacer y eso te queda 400.

Sería igual a "x" al cuadrado +8 al cuadrado,

8 × 8, que te queda 64.

Entonces,

ahora 64 podemos pasarlo a la parte izquierda restando

tenemos que 400 menos 64

sería igual a "x" al cuadrado y, entonces,

de aquí obtenemos...

Si quieres vamos a poner la "x" en la parte izquierda.

"X" al cuadrado igual y ahora el resultado

se resta en la parte derecha,

400 - 64,

eso te queda 332.

Entonces, aquí obtenemos que "x" sería más,

menos la raíz cuadrada de 332,

pero como "x" es la longitud de un lado

va a ser positivo, entonces,

directamente ponemos más la raíz cuadrada de 332.

Y esto, bueno, podrías trabajar aquí con la factorización de 332,

extraer factores de dentro de la raíz

y todas estas cosas y expresar el resultado común radical.

Nosotros vamos a trabajar

con la expresión decimal directamente,

entonces, tenemos que hacer la raíz cuadrada de 332.

La puedes hacer a mano,

con la calculadora y obtenemos 18,22.

Entonces, esta sería la longitud del cateto que nos faltaba,

que nos pedía.

Entonces, bueno, ya sabes que todo está expresado en decímetros.

Entonces, vamos a dar el resultado en decímetros.

Podríamos pasar a metros,

dividiendo por 10 y tendríamos 1,822 metros,

pero nosotros lo vamos a dejar así en decímetros.

Y con esto terminamos este video sobre triángulos rectángulos

y el teorema de Pitágoras.

Hasta pronto.

(Música)

Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras consiste

en calcular la hipotenusa conociendo los catetos.

En este caso escribimos el primer miembro la hipotenusa.

Ejercicio resuelto.

Dibuja un triángulo rectángulo con esos catetos.

Los datos que nos dan son:

un cateto mide 3,6 m

y el otro cateto 4,8 m.

Pregunta: calcula la hipotenusa.

Le vamos a llamar "a".

Como tenemos que hallar la hipotenusa

escribimos la fórmula del teorema de Pitágoras

con la hipotenusa en el primer miembro.

"a" cuadrado igual

al cateto "b", que mide 3,6, al cuadrado,

más el cateto "c", que mide 4,8,

al cuadrado igual a

el cuadrado de 3,6, que es 12,96,

más el cuadrado de 4,8,

que es 23,04.

Sumando se obtiene 36.

Como A cuadrado es igual a 36 tenemos que hacer la raíz cuadrada.

"A" igual

a la raíz cuadrada de 36, que es más o menos 6,

pero como es una longitud,

solo tiene sentido el valor positivo.

Por tanto, seis.

Y las unidades, que son metros.

Con calculadora.

(Música)

En este caso escribimos en el primer miembro los catetos.

Ejercicio resuelto.

Dibujamos la escalera apoyada

en la pared con los datos del problema.

Los datos que nos dan son:

la hipotenusa mide 2,5 m y un cateto 1 m.

Pregunta: calcula a qué altura llega la escalera,

que es el otro cateto.

Como tenemos que hallar un cateto escribimos

la fórmula del teorema de Pitágoras

con los catetos en el primer miembro.

Implica, el cateto "b" que mide uno, al cuadrado,

más el cateto "c" al cuadrado, que es el que tenemos de calcular,

igual a la hipotenusa, que es 2,5, al cuadrado.

Uno al cuadrado, que es uno, más "c" cuadrado,

igual al cuadrado de 2,5, que es 6,25.

Implica,

"c" cuadrado igual a uno

con el segundo miembro restando.

6,25 - 1, que son 5,25.

Como "c" cuadrado es igual a 5,25 tenemos que hacer la raíz cuadrada.

"C" igual

a raíz cuadrada de 5,25, que es 2,29 y las unidades,

que son metros.

Con calculadora:

(Música)

Ejercicios resueltos.

Lo más importante en las aplicaciones

del teorema de Pitágoras

es hacer el dibujo

y buscar el triángulo rectángulo

que nos ayude a resolver este problema.

Entérate.

De este rectángulo conocemos:

la base "b" mide 12 m,

la diagonal "d" mide 13 m y nos piden la altura, "a".

Luego ya tenemos el triángulo rectángulo

que resuelve nuestro problema.

Los catetos son:

la base "b", que mide 12 m y la altura "a",

que es la que tenemos que hallar.

La hipotenusa es la diagonal "d", que mide 13 m.

Manos a la obra.

El problema lo podemos resolver mentalmente si nos hemos dado cuenta

de que 13, 12 y 5 forman una terna pitagórica

de donde se sigue que la altura "a" es igual a 5 m.

Lo vamos a hacer paso a paso.

Como tenemos que calcular un cateto

el teorema de Pitágoras lo escribimos de la forma:

un cateto al cuadrado más el otro cateto

al cuadrado igual a la hipotenusa al cuadrado.

Un cateto, 12 al cuadrado, más...

el otro cateto, "a" al cuadrado,

igual a la hipotenusa, 13, al cuadrado.

Implica, 12 al cuadrado, 144,

más "a" al cuadrado,

igual a 13 al cuadrado, 169.

Implica, "a" cuadrado igual...

El 144 pasa al segundo miembro restando

y 169 - 144 son 25.

Implica, "a" igual

a raíz cuadrada de 25.

La raíz cuadrada de 25, 5.

Y, como las unidades estaban en metros, metros.

Solución: la altura del rectángulo mide 5 m.

Con calculadora.

Recordamos que, lo más importante en las aplicaciones

del teorema de Pitágoras es hacer el dibujo

y buscar el triángulo rectángulo

que nos ayude a resolver este problema.

Entérate.

De este cono conocemos que el radio de la base "R"

mide 4 m,

la altura "H" mide 7 m y nos piden la generatriz, "G".

Luego ya tenemos el triángulo rectángulo

que resuelve nuestro problema.

Los catetos son:

la base "R", que mide 4 m y la altura "H" que mide 7 m.

La pregunta es hallar la generatriz "G", que es la hipotenusa.

Manos a la obra.

Como tenemos que calcular la hipotenusa

el teorema de Pitágoras lo escribimos de la forma:

hipotenusa al cuadrado igual a un cateto

al cuadrado más el otro cateto cuadrado.

La hipotenusa al cuadrado "G" cuadrado

igual a un cateto,

cuatro al cuadrado,

más el otro cateto, siete al cuadrado,

igual a cuatro al cuadrado, 16,

+7 al cuadrado, 49,

igual a 16 + 49,

65.

"G" igual

a raíz cuadrada de 65.

Haciendo la raíz cuadrada

y redondeando a dos decimales obtenemos 8,06.

Y como las unidades estaban en metros, metros.

Solución: la generatriz del cono mide 8,06 m.

Con calculadora.

(Música)

El teorema de Tales dice:

si dos rectas "r" y "s" se cortan

por rectas paralelas, "A", "B" y "C",

los segmentos que se determinan sobre las rectas "r"

y "s" son proporcionales, es decir...

Podemos comprobar que ambos dan 1,2,

que es la razón de semejanza en este caso.

Ejercicio propuesto.

Arrastra el punto "O" y observa cómo los dos cocientes son iguales.

Arrastra el punto "A" y observa

cómo los dos cocientes siguen siendo iguales.

Arrastra el punto "B" y observa

cómo todas las longitudes de los segmentos varían

Y el cociente permanece igual.

Arrastra el punto "C" y observa

cómo las longitudes de los segmentos "BC"

y "B'C'" varían y el cociente permanece igual.

Haz clic en "recargar" o "actualizar la página"

y el applet vuelve a su estado inicial.

Arrastra el punto "A'" y observa

cómo las longitudes de los segmentos "A'B'"

y "B'C'" varían y el cociente permanece igual.

(Música)

Parece una palabra eminentemente matemática,

y más específicamente geométrica, y así es,

pero vamos a empezar con la Literatura.

Un palíndromo es una palabra o frase

que se lee igual en un sentido que en otro.

Así, es lo mismo que la empieces a leer en el sentido usual,

de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda.

Las letras que aparecen en ambos sentidos son las mismas.

Se pueden encontrar palíndromos en todos los idiomas del mundo,

aunque, cuanto más largos sean,

más se resentirá el significado de la frase.

El récord Guinness lo tiene una novela

escrita en inglés de Lawrence Levine,

que cuenta con un total de 167 páginas

y 31594 palabras

y que te la puedes leer en el orden usual

o empezando por el final.

Por cierto, si esta propiedad ocurre con números

y no con letras hablamos de números capicúa.

Y dentro de estos,

introduciendo otro tipo de simetrías,

podemos hablar de capicúas reversibles

y reversibles netos.

Y ahora vamos con la Biología.

En ella la simetría es la equilibrada distribución

en el cuerpo de los organismos de aquellas partes

que aparecen duplicadas.

Muchísimos animales presentamos simetría bilateral,

aunque también los hay con simetría radial o sin simetría.

Y volvemos a las Matemáticas.

También hay muchos tipos.

La simetría axial, por ejemplo,

es exactamente lo mismo

que la bilateral y la especular es muy parecida,

pero el eje de simetría no corta a la figura que,

por cierto,

estos dos tipos de simetrías,

si estamos hablando de funciones y el eje de simetría es el eje "Y",

se llama simetría par.

Y aquí te dejo unos cuantos más ejemplos de simetrías.

(Música)

Composición de traslaciones.

Puedes observar que si al punto "A" le aplicas una traslación de vector

u 7 5 se mueve 7 unidades hacia la derecha.

Y 5 unidades hacia arriba.

Y obtienes el punto "A'".

Si ahora le aplicas al punto "A'"

otra traslación de vector V5 -3

se mueve 5 unidades hacia la derecha.

Y 3 unidades hacia abajo.

Y obtienes el punto A segunda.

Puedes comprobar que, la suma de los vectores U y V

es el vector W,

por tanto, a composición de dos traslaciones

es otra traslación de vector suma de los sectores.

Geometría dinámica.

Interactividad.

Observa qué sucede cuando arrastras: a) El rectángulo R.

Se traslada en el rectángulo R segunda según la traslación W,

que es U más V.

b) El extremo del vector U.

Se sigue trasladando el rectángulo R segunda según la traslación W.

c) El extremo del vector V.

Se sigue trasladando el rectángulo R segunda según la suma.

(Música)

Simetría axial.

Una simetría axial de eje en la recta R

es un movimiento inverso que lleva cada punto A a otro A',

de forma que la recta R es la mediatriz del segmento AA'.

Para hallar el simétrico de un punto A respecto

de la recta R se traza

por el punto A una perpendicular a la recta R.

El punto A' se encontrará

a igual distancia que el punto A de R,

pero al otro lado de la recta.

Geometría dinámica.

Interactividad.

Problema propuesto.

a) El triángulo ABC.

El triángulo A'B'C'

es el simétrico del ABC respecto de la recta R.

b) La recta R.

El triángulo A'B'C' sigue siendo

el simétrico del ABC respecto de la recta R.

c) Los puntos P o Q.

El triángulo A'B'C' siempre sigue siendo

el simétrico del ABC respecto de la recta R.

(Música)

Hola a todos.

En este vídeo introduciremos los poliedros.

Por ejemplo, la figura que aparece en pantalla es un poliedro.

Es una figura tridimensional limitada por polígonos,

que son sus caras.

O un cubo es un poliedro.

Seguro que conoces muchos poliedros.

Los dados o el cubo de rubik que son cubos,

una caja de zapatos es un poliedro que recibe el nombre de ortoedro.

No te preocupes ahora por los nombres.

Posteriormente los repasaremos con más calma.

O, por ejemplo, como poliedros también encontramos

las pirámides.

Seguro que te suenan las pirámides de Egipto.

Además de las caras, en los poliedros

encontramos otros elementos.

Toma un cubo, por ejemplo, un dado un cubo de rubik.

Entonces, tú puedes girarlo.

Observa que este cubo está formado por seis caras.

Todas estas caras son cuadrados iguales.

El cubo también cuenta con ocho vértices y 12 aristas.

En cuanto al ortoedro, toma una caja de zapatos.

Cuenta con el mismo número de caras que en el cubo, seis,

también el mismo número de vértices, ocho y de aristas también tiene 12.

Observa que, en nuestro caso, las caras son rectángulos.

En el cubo teníamos

que las caras eran cuadrados iguales.

Finalmente, para la pirámide que tenemos,

que tiene base un cuadrado,

pues como caras tenemos pues eso,

la base, que es un cuadrado y ahora las caras laterales

son triángulos,

por lo tanto, tendremos cinco caras en total.

Observa que tenemos cuatro vértices inferiores más uno superior,

luego nuestra pirámide tiene cinco vértices.

Y tenemos cuatro aristas en la base y cuatro aristas laterales,

en total, ocho aristas.

Podemos clasificar a los poliedros por el número de caras,

así tenemos que...

Bueno, estos son los poliedros que hemos destacado,

también tenemos otros poliedros con otro número de caras.

Al igual que para medir figuras planas utilizábamos el área,

para medir un poliedro,

dado que es una figura tridimensional,

mediremos su volumen,

que indica lo grande que es dicho poliedro.

Además de ello, también podemos medir

el área de su contorno.

Dado que un poliedro está cerrado

por polígonos el área de su contorno,

que se denomina área total de este poliedro,

es igual a la suma de las áreas de sus caras.

Para obtener el área total de un poliedro

trabajaremos en cada caso

con su desarrollo plano, que es el que se utiliza

para construirlo.

Seguro que, en alguna ocasión,

has construido un cubo a partir de su desarrollo plano.

Con esto terminamos este vídeo,

donde hemos introducido los poliedros.

En el próximo vídeo empezaremos a estudiar

un tipo de poliedros,

los prismas.

Adelante.

(Música)

Cubo o exaedro.

El desarrollo plano está formado por seis cuadrados iguales,

así que el área es 6a2.

Volumen igual a arista al cubo.

Paralelepípedo u ortoedro.

El desarrollo plano está formado

por seis rectángulos iguales dos a dos,

así que el área es dos veces

ab+ac+bc.

Volumen igual a a por b por c.

Prisma.

El desarrollo plano está formado por dos

bases que son polígonos regulares iguales

y tantos rectángulos iguales como lados tengan las bases,

así que el área total es igual a dos veces

el área de una base más el área lateral.

Cilindro.

El desarrollo plano está formado

por dos bases que son círculos iguales

y un rectángulo.

El área de una base es pi R al cuadrado.

El área lateral es dos pi RH y el área total es dos veces el área

de una base más el área lateral.

Los prismas y cilindros tienen dos bases iguales,

así que en ambos el volumen

es igual al área de la base por la altura.

Pirámide.

El desarrollo plano está formado

por una base que es un polígono regular

y tantos triángulos isósceles iguales

como lados tenga la base,

así que el área total es igual

al área de la base más el área lateral.

Cono.

El desarrollo plano está formado por una base que es un círculo

y un sector circular.

El área de la base es pi R al cuadrado.

El área lateral es pi RG, siendo G la generatriz.

Y el área total es el área de la base más el área lateral.

Las pirámides y conos tienen una base y un vértice,

así que en ambos el volumen es igual

a un tercio del área de la base por altura.

Tronco de pirámide.

El desarrollo plano está formado por dos

bases que son dos polígonos regulares desiguales

y tantos trapecios isósceles iguales como lados tengan las bases,

así que el área total es igual al área de la base mayor más el área

de la base menor más el área lateral.

Tronco de cono.

El desarrollo plano está formado por dos

bases que son dos círculos desiguales y un trapecio circular.

El área de la base mayor es pi por el radio mayor al cuadrado.

El área de la base menor es igual a pi

por el radio de la base menor al cuadrado.

El área lateral es pi por la suma de los radios y por la generatriz.

Y el área total es el área de la base mayor

más el área de la base menor más el área lateral.

Los troncos de pirámides y conos tienen dos bases desiguales,

así que en ambos el volumen es igual a un tercio

del área de la base mayor más el área de la base menor

más la raíz cuadrada del producto de ambas áreas

y multiplicado por altura.

Esfera.

No tiene desarrollo plano.

El área es cuatro veces un círculo máximo,

es decir,

cuatro pi R cuadrado.

El volumen es 4/3 de pi R cubo.

(Música)

En este vídeo vamos a intentar

aprender algo sobre los cuerpos geométricos,

porque nuestra vida, como sabemos, transcurre en tres dimensiones.

Estamos rodeados de objetos en tres dimensiones:

pirámides, cajas, rollos cilíndricos, conos de helado,

sillas incómodas, planetas...

Solo hay que mirar lo que nos rodea con ojos matemáticos

para descubrir los cuerpos geométricos

que nos rodean.

Te voy a contar en este vídeo cosas sobre poliedros,

sobre prismas, sobre pirámides, los cuerpos de revolución,

cómo calcular volúmenes de prismas, cilindros,

pirámides, conos y algo sobre las esferas.

Primero hablamos de los poliedros.

Poli es un prefijo que significa varias y edro serían caras planas.

Bueno, pues un poliedro sería:

Los poliedros convexos cumplen

que su característica de Euler es igual a dos,

es decir, que si sumamos los vértices,

restamos el número de aristas y sumamos las caras

el resultado en esa cuenta

es 2 y lo puedes comprobar cuando quieras

con cualquier poliedro convexo.

Vamos a llamar poliedros regulares

a aquellos cuyas caras son polígonos regulares y,

a la vez, en el que cada vértice concurre el mismo número de caras.

Por ejemplo, aquí tenemos un tetraedro,

que está formado con cuatro triángulos equiláteros.

Aquí tendremos un octaedro,

formado por ocho triángulos equiláteros.

Aquí tendríamos un hexaedro, que está formado por seis cuadrados.

Un dodecaedro, formado por 12 pentágonos regulares.

Y, por último, el icosaedro,

que está formado por 20 triángulos equiláteros.

Estos poliedros regulares son los que se llaman

sólidos platónicos

y todos ellos pueden ser utilizados como dados en juegos de azar,

porque todas las caras son igualmente probables.

No vamos a tener una fórmula,

lo que tienes que hacer es sumar las áreas de todas las caras,

que para eso hemos estudiado antes la Geometría Plana.

Es decir, si te encuentras con un prisma,

por ejemplo, como este,

un prisma pentagonal regular, ¿qué tienes que hacer?

Pues sumar las caras que lo forman que, si lo abrimos,

vemos que tenemos dos pentágonos regulares y cinco rectángulos que,

en este caso, son todos iguales.

Calculas las áreas y las sumas todas.

Hablamos ahora sobre los prismas.

Los prismas son cuerpos geométricos que tienen dos bases.

Esas bases son polígonos y esos polígonos son iguales

y, a la vez, son paralelos.

Las caras laterales son paralelogramos

y el prisma podría ser recto u oblicuo.

Vamos a verlo con esta construcción.

Ahí vemos sobre un plano que tenemos un polígono.

Bueno, pues lo que vamos a hacer es levantar un polígono igual

que este, pero paralelo, hasta una cierta altura.

Ahí lo tendríamos.

Tendríamos entonces un prisma.

En este caso, el clima es recto

porque vemos que las caras laterales son rectángulos,

pero si movemos ese punto tendríamos un prisma oblicuo,

muy parecido al de antes,

pero ahora las caras laterales son paralelogramos.

Las pirámides son otro cuerpo geométrico

que tiene que ver un poco con el anterior.

En este caso solo tenemos una base,

que es un polígono y las caras laterales

pues van a confluir todas a un vértice, entonces,

se nos forman triángulos.

Estos triángulos podrían ser triángulos isósceles

y tendríamos una pirámide recta,

o triángulos que también no son isósceles

y tendríamos una pirámide oblicua.

Vamos a verlo aquí.

Por ahora, lo que vemos es un polígono que está en un plano.

Si levantamos ese punto que hace de vértice

pues tendríamos una pirámide, en este caso, recta.

Si movemos ese punto

tendríamos una pirámide, pero ahora oblicua.

Los cuerpos de revolución

son todos aquellos que se obtienen al girar

cualquier cosa alrededor de un eje.

Así obtenemos fácilmente un cilindro, un cono,

un tronco de cono, una esfera y superficies un poco extrañas.

Luego vamos a verlo.

Mirad, en esta construcción tenemos un segmento que se apoya en el eje,

un segmento que es paralelo al eje,

un segmento que está fuera del eje y, por último,

una semicircunferencia que se apoya en el eje.

Bueno, pues si esto lo hacemos girar obtenemos arriba un cono,

en medio un cilindro, que es de color verde,

debajo tenemos un tronco de cono y, finalmente,

abajo del todo tenemos una esfera.

Bueno, pues esto lo hemos hecho solo girando alrededor de un eje.

Vamos a ver algo un poco más extraño.

Si tenemos una curva delimitada por esos puntos

vemos que se ve en la vista 3D también esa curva,

pero ahora se ve como en vertical, ¿no?

Si la giramos alrededor de ese eje vertical, que sería el eje Z,

obtenemos una superficie bastante extraña,

pero que es el resultado exacto de girar esa curva.

Si movemos la curva, la superficie se modifica.

Bueno, pues así podríamos hacer alfarería tridimensional

imaginaos incluso que tenemos una impresora 3D

y podemos imprimir estas superficies.

Vamos a ver cómo se relacionan los prismas con los cilindros

y las pirámides con los conos.

Bueno, pongo ahí que un prisma y un cilindro son la misma cosa.

No son lo mismo,

pero si tomamos un prisma que tiene muchos lados de base

vamos a tener aproximadamente un cilindro.

Vamos a verlo aquí.

Tenemos ahora mismo un prisma que es triangular.

Si aumentamos el número de lados de la base

obtenemos una figura que sigue siendo un prisma,

pero cada vez se parece más a un cilindro.

Claro, un cilindro lo que tiene de base es una circunferencia.

Igualmente, con la pirámide, pasaría lo mismo.

Si tomamos una pirámide con muchos lados de base

o más vamos a tener aproximadamente un cono, cada vez más un cono.

Ahora mismo tendríamos una pirámide triangular.

Y un triángulo equilátero como base.

Si aumentamos el número de lados...

Seguimos teniendo una pirámide

pero que cada vez se parece más a un cono.

Bueno, por eso el volumen del prisma y cilindro

y pirámide y cono se calculan de la misma manera.

Vamos a ver cómo se calcula el volumen de un prisma.

Lo que tenemos que hacer es multiplicar

el área de la base por la altura.

Es como si ese área de la base se repitiera tantas veces

como nos indica su altura.

En el cilindro haríamos lo mismo, pero la base sería un círculo.

Vemos en la consecución cómo esa base, si la hacemos subir,

vamos llenando el volumen de esa especie de piscina

que es un prisma hexagonal.

Por lo tanto,

vemos que el volumen sería el área de la base por la altura.

¿Qué pasa si el prisma o el cilindro no son rectos?

No pasa nada, aplicamos el principio de Cavalieri.

Es decir,

que si seleccionamos con planos paralelos

esos dos cilindros

lo que vamos a obtener es la misma circunferencia.

La misma circunferencia es la que se obtiene al intersecar.

El volumen entonces será esa circunferencia por la altura.

Eso es lo mismo en los dos casos,

porque los dos cilindros tienen la misma altura.

¿Cómo calcularíamos ahora el volumen de un cono?

Tenemos que tener en cuenta

que con tres conos estaríamos llenando

un cilindro de la misma altura y con igual base de circunferencia.

Por tanto, el volumen del cono sería

la tercera parte del volumen del cilindro.

En el pirámides sería igual.

Sería la tercera parte de un prisma que tuviera el mismo polígono base

y la misma altura.

Si vemos esa construcción,

tenemos un cilindro y tres conos que tienen la misma base y altura.

Si llenamos el primer cono, y después el cilindro,

se llena hasta su tercera parte.

Cuando llenamos dos conos,

se llena hasta sus dos terceras partes

y cuando por fin llegamos al tercero

tenemos el cilindro absolutamente completo.

Por lo tanto,

el volumen que cabe en tres conos sería el volumen

que cabe en un cilindro.

Hablamos ahora de la esfera.

La esfera, veis,

es esta figura en la que hay puntos

que están todos a la misma distancia de un centro.

Para calcular el área simplemente tenemos que multiplicar el radio

de la esfera al cuadrado por cuatro pi.

Para calcular el volumen cogemos el radio,

lo elevamos al cubo,

lo multiplicamos por cuatro pi y lo dividimos por tres.

¿Qué pasaría si seccionamos la esfera con diferentes planos?

Vamos a verlo aquí.

Esto sería lo que llamamos un casquete esférico.

Lo que vamos a hacer es seccionar la esfera por un plano.

Podemos subir o bajar el plano,

pero la figura que obtenemos arriba sería un casquete esférico.

Abajo nos queda otra.

Si lo abrimos, lo veremos un poco más claro.

Una especie de gorro.

Si ahora tenemos dos planos paralelos

y nos quedamos con la parte intermedia,

eso se llama zona esférica.

Lo sacamos afuera para que se vea un poco más claro.

Esa zona azul sería lo que nosotros llamamos

una zona esférica.

Es el resultado de seccionar una esfera por dos planos paralelos.

Y la tercera cosa que os enseño, es lo que llamamos la cuña esférica.

Que sería una esfera que cortamos con los planos que confluyen,

que son secantes, confluyen en el centro de la esfera.

Sería algo parecido un gajo de naranja.

Esa parte roja sería lo que llamamos una cuña esférica.

Como vivimos en un mundo que es tridimensional,

hemos elegido para calcular las coordenadas

geográficas en nuestro planeta,

que es una esfera, hemos elegido esta manera, mirad.

Vamos a llamar latitud al ángulo

que se forma desde el centro al Ecuador

y puede ser latitud norte y también podría ser latitud sur.

Vamos a llamar longitud al ángulo

desde el punto al meridiano de Greenwich.

Que es el llamado el meridiano cero.

Y puede ser longitud este o longitud oeste.

En esta construcción vemos cómo van cambiando

las coordenadas del punto

las coordenadas geográficas que llamamos.

Con esto he terminado de contar la teoría

que quería contaros de este tema.

Las imágenes iniciales las he tomado de pixabay.

Las construcciones las de realizado todas en geogebra.

Espero que os haya gustado

y que os pongáis a estudiarlo vosotros.

Bueno, ¿qué tal los vídeos de voy?

¿Os acordabais del teorema de Tales?

La trigonometría se utiliza

para hacer mediciones del entorno próximo,

como hace la topografía o del lejano,

como hace la astronomía.

Lo más importante,

¿os han parecido útiles para repasar los conceptos?

Espero que sí, esa es la idea de "Aprendemos en casa".

Como siempre, no quiero que se me olvide,

quiero daros las gracias por ese grandísimo esfuerzo

y trabajo que estáis haciendo para repasar

los contenidos de matemáticas.

Cada día que pasa, creo que lo hacéis mejor.

Ya sabéis que es muy importante mantener el cerebro activo.

Así que si algún vídeo que habéis visto

no ha quedado claro, no lo habéis entendido bien

o simplemente queréis volver a revisarlos,

podéis verlos enteros, cuando queráis,

en televisión española a la carta.

Las veces que queráis, es gratis.

De todas formas, vuestros profesores y profesoras,

os lo explicarán más despacio cuando volváis a clase.

La idea ahora es solo repasar contenido que ya habéis visto.

Ahora, al lío.

¿Os fiais de vuestros sentidos? ¿Sí?

¿Creéis que la información que le pasan a vuestro cerebro

es suficiente para tomar decisiones...

Digamos geométricas?

Sí, decisiones geométricas.

No os sorprendáis.

En determinadas ocasiones es muy importante

analizar esa información que nos pasan los sentidos

para poder tomar decisiones correctamente.

Ese es uno de los consejos que nos dejó Enma Castelnuovo.

Matemática y profesora de secundaria italiana que nació el siglo pasado.

Murió hace poco.

En 2014.

Vivió nada más y nada menos que 101 años.

La profesora era mucho más que una profesora de tiza.

Ella era la que hacía

que las matemáticas se pudiesen tocar

y se pudiesen ver.

Su forma de ver las matemáticas nace de dos reflexiones

que hizo sobre las clases de esta asignatura.

A ver qué opináis vosotros y vosotras.

Uno: la clase de matemáticas resulta a menudo

pesada, aburrida y difícil.

Dos: los alumnos y alumnas tienen la idea

de que las matemáticas son por un lado, algo mecánico

y por otro, que está todo ya inventado.

¿Qué os parece? ¿Estáis de acuerdo?

¿Eso lo que pensáis vosotros y vosotras de las matemáticas?

Voy a contaros un ejemplo de cómo Enma Castelnuovo planteaba

sus clases para intentar cambiar esa visión

que tenéis de las matemáticas como algo aburrido y mecánico.

Volvemos a los sentidos y a la información que nos dan.

Es muy posible que en la cocina tengáis distintos tipos de cazuelas.

Unas más grandes y otras más pequeñas.

Nos fijaremos en dos cazuelas cilíndricas de manera

que una de ellas es el doble de alta que la otra,

pero la más baja tiene el diámetro el doble que la más alta.

La pregunta es...

¿En cuál cabe más agua?

Si en una cabe más agua que en la otra, ¿cuánta más?

A veces los sentidos nos engañan.

Hay personas que pueden pensar que en la más alta cabe más agua

y en la otra menos o al revés,

que en la más baja cabe más agua porque así se desparrama

y en la más alta cabe menos. ¿Quién tiene razón?

Podemos usar directamente la fórmula,

porque al fin y al cabo las cazuelas estas son cilindros.

El volumen de la cazuela baja es:

El volumen de la cazuela alta:

Por tanto...

Restamos los volúmenes para ver cuál es mayor

y ver cuánto volumen tiene una más que la otra.

Todo esto está estupendo, pero

¿Qué pasa si no tenemos las fórmulas o no nos acordamos de ellas?

Podemos llenar una de agua y verter el contenido en la otra,

así podemos saber cuál tiene más y calcular cuánto más.

Y si no tenemos agua...

Sé que vais a pensar: "Venga, complícalo más".

Pero la verdad es que no es mucho más difícil.

Podemos construir unos modelos de papel de nuestras cazuelas.

Fíjate.

Como una de ellas es el doble que la otra,

si la parto por la mitad,

los cachos que salen van a tener la misma altura

que la cazuela baja,

como el diámetro de la cazuela alta es la mitad que el de la baja,

puedo coger las dos mitades que me han salido

y meterlas dentro de la cazuela más baja.

Visto desde arriba quedaría así.

Parece un emoji con gafas de sol.

Que me lío.

Aquí vemos claramente que el volumen de la cazuela baja es mayor

que el de la cazuela alta. ¿Cuánto más?

Seguro que lo ves claramente. Eso es.

Lo que hemos reflejado en azul.

Como ves,

muchos problemas de geometría se resuelven simplemente observando

y pensando.

Hay ocasiones en que las fórmulas no nos ayudan en nada.

Os recuerdos que los conceptos matemáticos

nacen de las cosas cotidianas,

luego vienen las fórmulas para formalizar

y generalizar la observación; es esencial en las matemáticas.

Venga, otra pregunta fácil.

¿Sabéis lo que es una muñeca rusa?

Sí, las que la abres y dentro hay otra,

y la abres y hay otra y así sucesivamente.

También se llaman matrioshkas o babushkas.

Pues hoy os voy a contar una historia sobre dos conceptos

matemáticos que conocéis bien y unas muñecas rusas.

Dicen que una vez en un pueblo pequeño había una escuela

donde daba clases una profesora rusa.

Sus alumnos y alumnas tenían poco interés en aprender

y la profesora era muy consciente del esfuerzo

que les suponía ir cada día para motivarles.

Un día se le ocurrió una idea para poder explicarles dos conceptos

que sabía que los alumnos habitualmente confundían.

Los conceptos eran las figuras semejantes

y las figuras congruentes. "Buenos días", dijo.

"Buenos días",

dijeron algunos y otros miraron y siguieron

con lo que estamos haciendo,

entonces sacó una muñeca de su bolso y la puso encima de la mesa.

Este gesto hizo

que poco a poco ellos se fueron acercando para ver

de qué se trataba eso que había puesto.

"He traído una cosa para enseñárosla", dijo.

"¿Qué es, qué es?" Empezaron a preguntar todos.

Es una muñeca rusa.

Se puede abrir.

Abrió la primera muñeca y la enseñó a la clase.

Se quedaron con la boca abierta

porque vieron que dentro había otra igual.

Sacó la segunda muñeca y cerró la primera.

También abrió la segunda, y casi a la vez los alumnos

y alumnas abrieron todavía más la boca.

Y siguió con este proceso

hasta que las cinco muñecas estaban todas en fila

encima de la mesa.

Por primera vez en mucho tiempo todos estaban atendiendo

a lo que decía la profesora.

Uno de ellos dijo: "Profesora, son todas iguales".

No, no lo son.

No todas ellas tienen el mismo tamaño.

Después de un debate llegaron a la conclusión

de que bueno, eran parecidas.

Tenían el mismo diseño y forma.

En realidad eran idénticas, la única diferencia era el tamaño.

Si no, no se podían meter unas dentro de otras.

Así que la profesora les dijo que eso se llamaba

que eran "semejantes".

Las muñecas eran semejantes.

Eran idénticas en diseño y forma, pero no en tamaño.

Entonces cogió una de ellas y la tumbó encima de la mesa.

Y preguntó: "¿Siguen siendo semejantes?"

Debatieron de nuevo y llegaron a la conclusión

de que seguían siendo semejantes

aunque una de ellas estuviera tumbada encima de la mesa.

Entonces sacó siete galletas triangulares,

las puso encima de la mesa.

Cinco de ellas eran idénticas y dos eran más pequeñas.

Entonces preguntó:

"¿Son estos triángulos semejantes?" Todos dijeron que sí.

Todas las galletas eran semejantes.

Entonces, giró un poco una de las que eran iguales y preguntó:

"¿Y ahora?

¿Siguen siendo semejantes? ¿Son idénticas?"

Algunos callaron, pero otros dijeron sí,

siguen siendo idénticas,

porque puedo volver a girarla y dejarla como estaba.

La profesora respondió:

"Cuando puedo hacer eso quiere decir

que esos triángulos además de semejantes, son congruentes".

Entonces, una alumna preguntó: "¿Y todo esto para qué sirve?"

La profesora, dándose cuenta de que había captado la atención

de sus alumnos contestó:

"Cuando dos triángulos son semejantes,

no necesito medir los tres lados.

Solo necesito saber el ratio de un lado del triángulo

y en el otro triángulo el lado que es proporcional.

Es decir,

si divido la longitud del lado AB entre la longitud del lado A'B'

ya sé que ese es el resultado

que me va a dar tanto si divido BC entre B' y C'

o AC entre A' y C'.

Como son semejantes, ya sé que mantienen la misma proporción.

Sonó el timbre y por primera vez

los alumnos y alumnas no salieron corriendo de la clase

sino que se quedaron dentro haciéndole preguntas a la profesora.

Fantástico.

Bueno, ¿qué os parece?

¿Tenéis clara la diferencia entre figuras semejantes

y figuras congruentes?

Recordad: figuras semejantes son las que tienen el mismo diseño

y forma pero son distintas en tamaño.

Figuras congruentes son las que son idénticas

pero para llegar de una a la otra

tengo que aplicar una serie de traslaciones,

rotaciones y o reflexiones.

Espero que la próxima vez que oigáis esto os acordéis de esta historia.

Que sepáis que esto no vale solo para los triángulos

vale para cualquier tipo de figura.

¿Cómo os quedáis? Y ahora, el reto.

Tiene que ver con triángulos.

Esta es una pregunta que hicieron en el examen de acceso al MIT

el Instituto de tecnología de Massachusetts en el año 1869.

Pero la realidad es que es un problema de geometría

muy fácil si lo piensas un poco.

Estoy seguro de que lo vas a resolver.

La pregunta es la siguiente.

Necesitamos conocer la altura de este árbol.

Lo único que sabemos es que a determinada

hora la luz del sol le da por la izquierda

y la sombra proyectada mide 9 m.

A otra hora la luz le da por la derecha

y la sombra proyectada mide 16 m.

¿Cuál es la altura del árbol?

¿Ya lo sabéis?

¿Sois Pitágoras?

¿Sabéis más que Tales quizá?

O lo mejor es que necesitáis una pista.

Se trata de una pista visual y auditiva,

así que si no la necesitas,

tápate los ojos y los oídos o dale al mute en el mando

y cuenta hasta cinco antes de volver a abrir los ojos.

Aquí tenéis la pista.

Los dos triángulos que se forman con la altura

son triángulos semejantes.

Aquí, quien os va a ayudar es Tales o la historia de las muñecas rusas.

Ahí lo dejo.

Pues ya está. Se ha terminado la pista.

¡Ya puedes poner tus sentidos aquí!

Como siempre digo, no es un reto difícil.

Solo hay que pensar un poco.

Igual en casa lo pueden resolver con vosotros y vosotras.

También podéis proponérselo a alguien de vuestra familia

y ver cómo lo resuelve. Igual les sorprende.

Un segundo. Doble reto.

¿Sois capaces de pensar en un problema

parecido para poder proponérselo a alguien?

Por ejemplo,

en vez de un árbol puede ser una rampa

y hay que calcular la longitud de las dos rampas.

Pues ahora sí, matemaníacos y matemaníacas.

Hasta aquí la sesión de hoy.

Qué rápido, ¿no?

Lo habéis hecho estupendo,

muchas gracias por estar aquí

y mantener el interés en las matemáticas.

No olvidéis que las matemáticas nos rodean,

no les perdáis la pista y estad muy pendientes, ¿vale?

Mañana tenéis más retos de otras asignaturas.

Diversión garantizada.

Mucho ánimo y cuidaos mucho. Hasta la próxima.

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Aprendemos en casa - De 14 a 16 años - Matemáticas

04 may 2020

En esta franja horaria, se emiten vídeos sobre: repaso del Teorema de Pitágoras y realización de algunos ejemplos; el Teorema de Thales; revisión de los conceptos de simetría y traslación; estudio de los cuerpos geométricos.

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