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Para todos los públicos Aprendemos en casa - De 12 a 14 años -  Matemáticas: polinomios y ecuaciones con David Calle - ver ahora
Transcripción completa

(Música)

Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a mi canal.

En esta ocasión, os traigo una actividad

para Primero y Segundo de la ESO, para introducir

la suma y resta de monomios y polinomios,

para esos primeros días de álgebra que, a veces,

son un poco delicados.

Es una actividad manipulativa que está extraída

del magnífico blog de Mariel,

"Las matemáticas de Mariel",

en el que podéis encontrar

multitud de ejemplos,

de materiales manipulativos y cómo utilizar estrategias

en las que los chicos utilizan cosas concretas,

muy fáciles de fabricar,

para explicar distintos tipos de actividades o conceptos

que, a veces, resultan un poco difíciles.

En esta ocasión,

el material está hecho de goma EVA.

Vamos a disponer de cuadrados, rectángulos,

de dos colores distintos, rojos y verdes.

Y de tres tamaños distintos.

Los colores pueden cambiar, los tamaños pueden cambiar,

a vuestro gusto, lo que sí es conveniente es utilizar uno rojo,

porque va a denotar lo negativo y otro color, azul o verde,

que va a denotar lo positivo.

Vamos a tener cuadrados mayores,

3 x 3 centímetros, en mi caso,

rectángulos un poco más pequeños,

1 x 3 centímetros en mi caso,

y cuadraditos, no sé si tengo por aquí alguno,

de 1 x 1 centímetros, aquí hay uno.

De 1 x 1 centímetros.

Bueno, con esto, vamos a ver una actividad

que veréis que va a resultar muy fácil de introducir en el aula.

Vamos a ello.

Bueno, vamos a ver cómo hacemos con estos rectángulos

y cuadraditos de goma EVA

para sumar y restar monomios y polinomios.

En primer lugar, ¿cómo representamos

un polinomio con estos rectángulos?

Tenemos, por un lado, las formas básicas para el 1,

para x y la x al cuadrado, los monomios base.

Y tenemos los respectivos negativos, que van en rojo.

Bien, con estos tres, por ejemplo, podríamos representar el +6.

¿Cómo lo representaríamos?

Pues es 1, seis veces.

Entonces, con seis cuadraditos verdes.

¿Cómo podríamos representar -3x?

Pues -3x se puede representar

como -x, tres veces.

Con tres rectángulos rojos.

Bueno, entonces, con esta idea, también podemos representar esto,

ya lo estaréis imaginando, como cinco cuadrados verdes grandes.

Y así, podemos representar cualquier polinomio.

Por ejemplo, si queremos representar ese, habrá que mezclar.

En total, ahí lo tenemos.

Así podemos representar cualquier polinomio.

A la hora de sumar dos monomios,

necesitamos la regla de cancelación de los verdes con los rojos.

Esto es lo que llama Mariel "Mar de ceros",

porque si cogemos un cuadrado rojo

y un cuadrado verde del mismo tamaño,

al sumarlos, 0, se cancelan.

Es decir, tenemos que ir emparejándolos.

De la misma forma,

esto da 0.

Es decir, que a la hora de manipular, los chicos, enseguida,

esto es algo que van a descubrir enseguida, no es difícil,

emparejan rojos con verdes del mismo tamaño

y esos los cancelan y lo que queda, es el resultado.

Por ejemplo.

Los emparejamos.

Y por el "Mar de ceros",

se van esos cinco

y te quedan dos cuadrados rojos, es decir, eso es un -2.

Es el resultado de la operación.

Fijaos que esta actividad se puede aplicar también,

olvidándonos del álgebra, para operaciones con enteros,

solo y exclusivamente.

Desde Primero de la ESO, podemos coger un montón de fichas rojas,

un montón de fichas verdes, y trabajar con ellos,

es una actividad superchula y recomendable 100 por ciento.

Ahora, vamos a ver qué pasaría

si queremos operar dos monomios que tengan x.

Pues lo mismo.

Como son todos del mismo color, no se cancelan, se juntan,

y darían -8x.

Bien, vamos a ver un ejemplo distinto.

Con x al cuadrado, pues lo mismo.

Como todos sabéis,

se cancelan tres

y te quedan cuatro.

Muy fácil de ver.

Bueno,

vamos ahora con la suma de polinomios.

Lo interesante es que es muy fácil de ver ahora,

que solo se pueden sumar monomios si son semejantes,

porque son piezas de la misma forma.

Es decir...

estos no se pueden sumar,

porque no se cancelan, no son iguales,

no se puede simplificar.

Mientras que si cogemos expresiones

que tengan monomios semejantes, pues sí.

Emparejamos las cosas que son comunes,

cancelamos las que se cancelan

y lo que nos ha dado es lo que tenéis ahí.

Ya está.

Esto es algo que los chicos enseguida se ponen y les sale.

A partir de ahí, podemos hacer distintas actividades,

como por ejemplo,

buscar dos polinomios cuya suma sea uno dado,

o buscar un polinomio que al sumarle otro,

me dé el resultado que conozco, etcétera, cosas de ese estilo.

¿Cómo restamos monomios?

Para restar monomios,

primero tenemos que conocer qué es el opuesto de un monomio.

Es decir, qué pasa si a un monomio, le pongo un - delante.

Si pongo un - delante, enseguida, algunos de los chicos

os van a decir que bueno, cambias los rojos por verdes,

cambian de color, pues claro.

Al aplicarle un signo,

lo que hacemos es cambiar lo que era - por +

y lo que es +, por -, es decir, cambiar de color,

lo rojo pasa a verde y al revés.

Así, podemos aplicar con cualquier monomio y polinomio.

Por ejemplo, si quiero restar aquí,

lo primero que tendría que hacer es cambiar de signo.

Como hay un -, lo que hago es cambiar todo de color.

Una vez que he cambiado el color, ahora no resto, ahora, sumo,

porque es una suma.

Para sumar, lo que hacemos es juntar monomios semejantes,

agrupar por tamaños,

cancelar el "Mar de ceros", se nos van los rojos con los verdes

y ahora, bueno, pues contar.

Así de sencillo. Bueno, esto ha sido todo.

Como veis, por el camino, en este vídeo,

hemos visto que además, esta estrategia sirve para trabajar

las sumas y restas de números enteros,

cosa que a veces, cuesta bastante pillar,

especialmente, ese famoso menos por menos, menos por más

y esos líos que, muchas veces, los niños se hacen.

Hay una actividad basada en esta idea, muy muy recomendable,

de Pedro Martínez Ortiz en su página web,

Maths for everything, sobre un juego

en el que utiliza esta idea

de los rojos con los verdes, que se cancelan.

Él utiliza la metáfora del fuego y el agua.

Os lo recomiendo, visitadlo.

Y nada, ha sido un placer, nos vemos en futuros vídeos,

espero que este os haya gustado, hasta luego.

Hola, chicos, ¿qué tal? Gracias por venir a clase.

Seguimos otra vez, en este caso,

con ecuaciones con x, con fracciones, etcétera,

ecuaciones simples, entre comillas, de Segundo y Tercero de la ESO.

Me las han pedido Hugo y News Riuk, me parece, en YouTube,

así que bueno, vamos a hacer estos dos ejemplitos,

que parecen muy fáciles, pero al principio, cuestan mucho.

Vamos a hacer primero este, que es el más facilito,

entre comillas, y tenemos en cuenta que tenemos un número

multiplicando a un paréntesis con una resta dentro,

hay que aplicar la ley distributiva, la propiedad distributiva,

que es que el resultado de esto será esto por el primero

y esto por el segundo.

Serían 2 por 2, 4.

Y 2 por 3x, 6x.

Si os fijáis, he puesto menos porque el 2 es positivo,

el menos es negativo y más por menos, es menos.

Vamos con este. Cuidadito con el signo y empezamos.

Sería -3 por 3,

sería -9.

Ahora, viene menos por menos, más,

y 3 por 2x, 6x.

¿Esto lo entendéis? Bien.

Este por este, este por este, ahí lo tenéis.

Vamos con este de aquí.

Siempre que tengáis un número con un paréntesis después,

lo que hay entre medias del número y el paréntesis es multiplicación.

4 por x, 4x,

más 4 por 1, 4.

Y este sería 3 por 4,

12, y 3 por -5x,

sería más por menos, menos.

3 por 5, 15, 15x.

Recuerdo que más por más es más,

más por menos es menos,

menos por más también es menos,

y menos por menos es más.

A veces, creo que las cosas, que ya sabéis un montón de cosas,

pero todavía no las tenéis claras.

Esta es la multiplicación de signos y no se os puede olvidar.

A partir de aquí, ¿qué se hace en las ecuaciones?

De primer grado, porque no hay ningún término elevado al cuadrado.

Lo que tiene x, se pasa para un lado y lo que no tiene x, para el otro.

Da igual a qué lado los paséis,

pero todo lo que tenga x, a un lado y lo que no tenga x, a otro.

De todas maneras, aquí, tengo la suerte de que se me va.

Y aquí, tenemos un 4x, que lo voy a pasar para allá.

Como está sumando, lo paso restando.

Y un -15x, que está restando, lo paso para allá sumando.

4 más 12, lo dejo donde está,

y el 4 menos 9 lo paso al otro lado.

Podría haber hecho, 4 menos 9, -5,

y ese, que está restando, lo pasaría al otro lado sumando.

¿Bien?

15x menos 4x son 11x,

4 más 12 es 16, más 5, 21,

y me queda que x es igual a 21 partido entre 11.

Porque el 11, que está multiplicando,

pasa al otro lado dividiendo.

Recordad que si está sumando, pasa restando,

si está restando, pasa sumando, lo contrario siempre.

Si multiplica, pasa dividiendo y si está dividiendo, multiplicando.

Y esta sería la solución de mi ejercicio.

No hará falta que divida 21 entre 11,

porque no me va a dar una división exacta,

lo que sí que tenéis que tener claro es que siempre que quede

una fracción en el resultado, habrá que simplificar al máximo,

dividiendo arriba y abajo por el mismo número,

eso se llama "hallar la fracción irreducible".

Como el 21 es 3 por 7

y el 11 es primo y es 11,

no podré eliminar nada, no podré dividir

entre el mismo número arriba y abajo,

y la solución sería esa directamente,

porque es una fracción irreducible.

Si se hubiera quedado 22 entre 11, no lo dejéis así,

da la casualidad de que 22 entre 12 da 2.

¿Bien? Si os queda, por ejemplo,

22 entre 14,

podemos dividir arriba y abajo entre 2,

porque los dos son números pares,

22 entre 2, 11, y 14 entre 2, 7,

pues así, ya no puedo seguir, ¿vale?

Bueno, espero que esto lo hayáis entendido bien.

Vamos con el de arriba.

Y esto lo podemos eliminar, porque espero que lo tengáis claro.

Aunque parece muy difícil, de verdad que os prometo que no lo es, mirad.

Sería exactamente igual, pero con fracciones.

Cuando veis fracciones, os asustáis mucho.

Hay que intentar no asustarse,

porque sabéis multiplicar fracciones, estoy seguro.

Y si no, aprendéis ahora.

Habría que hacer lo mismo que antes,

multiplicar esta fracción por x y por la otra fracción.

No voy a dar por supuesto que sabéis multiplicar esto,

pero siempre que multipliquéis algo por una fracción,

ese algo siempre multiplica

al numerador, al de arriba,

porque esto es como si tuviera un 1 debajo,

y para multiplicar fracciones, se multiplica

el de arriba por el de arriba, numerador por numerador,

y el de abajo por el de abajo, denominador por denominador.

Esto sería tres por x,

3x y 4 por 1, 4.

Bueno, pues esto...

será 3x partido entre 4.

Lo siguiente es multiplicar las dos fracciones.

Voy a hacerlo de dos maneras.

La habitual es multiplicar el de arriba por el de arriba

y el de abajo por el de abajo.

Siempre que queden fracciones en un ejercicio de este tipo,

hay que intentar simplificar al máximo,

hallar la fracción irreducible.

Como ambos son divisibles entre 3,

porque 4 y 2 son seis,

bueno, aprovecho y pregunto,

¿cuándo se sabe si un número es divisible entre 3?

Cuando la suma de sus cifras es divisible entre 3.

4 y 2 son 6, ¿el 6 es divisible entre 3?

Sí, porque 6 entre 3 se puede dividir y da 2.

Por lo tanto, 24 es divisible entre 3.

Aquí pondría esto.

Encima, hemos averiguado cuándo se sabe

si un número es divisible entre 3.

Esta sería una forma.

La otra forma, que les gusta mucho a los profesores, es esta.

Es que yo lo coloque

y diga 3 por 1 es 3, 4 por 6 es 4 por 6,

pero no lo multiplico y factorizo los números,

todos los que aparezcan, al máximo.

Lo descompongo en factores primos, que se llama.

El 3 no se puede descomponer más.

El 4...

El 4 sería 2 por 2.

Y el 6 es 2 por 3,

supongo que lo tendréis claro.

¿Qué se hace entonces?

Se trata de tachar todo lo que pueda.

Como tengo un 3 arriba y abajo, tacho.

Cuando tacho y arriba no me queda nada,

cuidado, no pongáis un 0, es un 1.

Y ahora, multiplico la de abajo.

Y me queda lo mismo que me daba de la otra manera.

Diréis: "Me gustaba más la primera forma, es más corta," sí,

porque estos números son muy sencillos,

pero si tenéis números muy grandes,

esta forma os puede salvar

y ahorrar muchísimos cálculos con la calculadora.

Lo vamos a hacer ahora con esta división de aquí,

espero que lo entendáis mejor.

Pero esto, claro, ¿no? Vale.

Borramos todo esto.

Y ahora, vamos a dividir las dos fracciones.

Os recuerdo que para dividir fracciones,

hay que multiplicar en cruz.

La forma normal sería multiplicar así.

Y ahora, intentaría dividir arriba y abajo por el mismo número.

Los dos son divisibles entre 18, y me quedaría un medio,

pero a veces, vosotros no lo veis directamente.

Como los dos son pares, dividimos entre dos.

Espero que ahora sí veáis que el 9 y el 18,

ambos son divisibles entre 9.

Por lo tanto, todo eso de ahí sería un medio.

¿De qué forma les gusta a los profesores

hacer estos ejercicios ahora?

De esta, mirad.

Es muy parecido a lo que he hecho antes,

2 por 9, pongo "2 por 9", no lo multiplico.

Y pongo "3 por 12".

No lo multiplico.

¿Qué hacemos ahora? Factorizamos el 9 y el 12 al máximo.

El 2 sigue siendo un 2, pero 9 es 3 por 3.

El 3 sigue siendo un 3, pero el 12...

es 2 por 2 por 3.

Si no lo sabéis hacer de golpe, lo haríamos así.

Y ahora, tachamos cosas.

Este 3 se va con este 3, este 3 se va con este 3,

este 2 se va con este 2,

y me queda, si no queda nada arriba, un 1

y abajo, me queda un 2, un medio.

Diréis: "Me gusta más esta", sí, pero con números más grandes,

esta es muchísimo mejor.

El caso es que nos ha quedado eso.

Estoy explicando estos ejercicios muy despacito.

Ya podemos borrar.

Nos ha quedado esa ecuacioncita de aquí.

Si os fijáis, tengo una ecuación con fracciones

y hay que hacer el común denominador de 2, de 4 y de 8.

Para eso, se hace el mínimo común múltiplo de los tres números.

Y el mínimo común múltiplo de los tres números,

como 2 es 2 elevado a 1,

4 es 2 elevado a 2

y 8 es 2 elevado a 3,

y el mínimo común múltiplo es comunes y no comunes

elevados al mayor exponente,

de todos los 2, me quedaré con el que está elevado

al mayor exponente

y el denominador común será un 8.

Y ahora, se hace lo de siempre,

se divide el 8 entre el de abajo

y se multiplica el resultado por el de arriba.

8 entre 4, 2.

2 por 3x, 6x.

8 entre 8, 1.

1 por 1, 1.

Y 8 entre 2, 4,

4 por 1, 4.

Divido entre el de abajo y multiplico por el de arriba.

Ahora, en las ecuaciones, cuando me queden fracciones

y haya conseguido que el común denominador

en todos los términos,

puedo coger los denominadores y tacharlos.

Y me quedaría esto.

Y ahora, ya sería muy fácil.

El 1, que está sumando, pasa restando,

el 6, que está multiplicando,

pasa dividiendo al otro lado.

Y esta fracción podría dejarla así si fuera irreducible,

pero como se puede dividir arriba y abajo entre 3, simplificamos.

Y esa sería la solución

de esta ecuación de aquí arriba.

Espero que hayáis entendido estos dos ejercicios

que he tratado de explicar muy despacito,

porque no quería dar por supuesto ningún conocimiento,

quería que los empezarais a hacer prácticamente desde cero.

Si tenéis dudas, preguntádmelas, ¿vale?

Y cualquier duda que tengáis, buscad en YouTube "Unicoos"

y lo encontraréis.

Nos vemos en clase, chicos, hasta luego, chao.

Aquí estamos otra vez, en este caso,

vamos a empezar con ecuaciones de segundo grado, ¿vale?

Es típico en la ESO, sobre todo, en Tercero y en Cuarto.

Las ecuaciones de segundo grado las hay de varios tipos,

están las completas y el resto, que son incompletas,

y siguen siempre esta estructura.

¿OK?

Una ecuación de segundo grado se distingue claramente

porque la x de mayor grado es de grado dos.

Esta x es de grado dos,

x de grado uno y el término c, que se llama término independiente.

Es muy importante que siempre podáis averiguar lo que vale a,

lo que vale b, y lo que vale c.

¿Cuándo tendremos una ecuación de segundo grado incompleta?

Cuando nos falte alguno de estos términos.

Si nos falta el término de la x al cuadrado,

ya no sería una ecuación de segundo grado,

sería una ecuación de primer grado muy sencillita.

Bueno, en el caso de las incompletas, como esta,

o esta, o esta, esta es completa,

esta, no y esta, tampoco.

Siempre nos falta, o nos falta b,

o nos falta el término independiente.

Las más fáciles de todas son aquellas en las que falta b,

como veis aquí, no tenemos el término de la x, no tenemos b.

Para poder hacerlas, es muy sencillo,

hay que despejar la x al cuadrado, hay que conseguir que quede sola.

Utilizando las reglas que despejar ecuaciones,

el 18, que está restando, pasa al otro lado sumando.

¿Bien?

Si no hay nada entre el 2 y la x, es como si hubiera un "por",

y ese 2, que está multiplicando, pasaría al otro lado dividiendo.

Si dividimos 18 entre 2, que pasa dividiendo, nos quedaría 9.

En matemáticas, siempre que tengamos que x al cuadrado es un número,

la x será igual a esto.

En este caso, será así.

La raíz cuadrada de 9 es exacta

y nos queda así.

De esta manera, la solución de esta ecuación sería 3 y -3.

Y ya habríamos acabado.

Como veis, las ecuaciones de segundo grado incompletas

de este tipo son muy cortitas y fáciles.

No se os puede olvidar, vais a estar utilizándolas

hasta el final de vuestros días mientras estudiéis matemáticas.

Ya habríamos terminado.

Tenemos otro caso de ecuaciones incompletas, es esta.

Haríamos lo mismo que en el caso anterior.

El 18, que está sumando, pasa al otro lado restando.

El 2, que multiplica, como antes, pasa al otro lado dividiendo

y este es el resultado.

De la misma manera que antes,

x era igual a esto.

Y en este caso, encontramos que el sistema,

la ecuación, no tiene solución,

porque no se puede hacer la raíz cuadrada

de un número negativo, al menos, de forma racional.

Todavía no habéis dado números complejos,

y descubriréis que las raíces de números negativos

sí se pueden hacer.

En este caso, no tendría,

la x no tiene solución.

¿Bien?

Esta ecuación de segundo grado que tenemos aquí tiene su término a,

que sería 2,

tiene el término b,

que sería -7, no os olvidéis de los signos,

y el término c, que sería -15.

Con estos tres valores, a, b y c,

procederemos a hacer la ecuación de segundo grado.

Este tipo de ecuaciones, habitualmente,

se hacen utilizando una fórmula que pondré ahora.

Cojo mi superborrador.

Y pongo la fórmula.

Cuidado con los signos.

Si tenemos clara esta formulita, que no se nos puede olvidar nunca,

podremos hacer esta ecuación.

Simplemente hay que sustituir

la a, que es 2, la b, que es -7 y la c, que es -15.

X es igual a menos b.

Sería menos -7.

Menos -7, 7.

Vamos a hacerlo rápidamente y nos ahorramos un paso.

Como la b es -7,

b al cuadrado será -7 por -7,

49.

Siempre que pongáis en matemáticas un por y un signo - después,

es necesario poner paréntesis.

Espero que hasta aquí, esté bien.

¿Lo habéis entendido? Sí, ¿no? Seguimos.

Cuidadito con los signos. Menos por menos,

más.

4 por 2, 8.

8 por 15, 120.

Puede ocurrir que cuando haga esta suma,

nos quede un número negativo.

En caso de que dentro de la raíz cuadrada,

nos quede un número negativo, por cierto, aprovecho y os digo

que lo de dentro de la raíz cuadrada se llama "discriminante".

El discriminante en matemáticas se llama a esto.

Si lo que nos queda dentro de la raíz cuadrada es negativo,

no tiene solución y habríamos terminado el ejercicio.

Pero en este caso,

49 más 120 son 169

y la raíz de 169 es exacta y da 13.

Nos quedará así.

Simplemente, ahora habría que hacer

la suma y la resta.

Esta solución, en matemáticas, normalmente, se simplifica,

toda fracción, si se puede dividir arriba y abajo

entre el mismo número, se procede a ello.

Como los dos son pares, se puede dividir arriba y abajo entre 2,

y quedaría así.

Y tendríamos dos soluciones que esta ecuación, que serían estas.

Y estas serían las dos soluciones

de la ecuación de segundo grado que tenemos ahí.

¿Lo habéis entendido? Espero que sí.

Como siempre, la mejor forma de aprender

a hacer ecuaciones de segundo grado y no aprenderse ninguna fórmula

es practicar, practicar y practicar. Llegará un momento

en que esta formulita se nos quede para siempre en la cabeza.

Continuamos con aquella ecuación.

Esta ecuación de segundo grado, si os fijáis, es bastante diferente,

porque no tiene término independiente,

no tiene ningún número que no multiplique a la x.

¿Cómo se hacen este tipo de ecuaciones?

Este tipo de ecuaciones se hacen sacando factor común.

¿Qué tienen en común este término y este?

En principio, tienen en común el 6,

pero no es necesario que nos comamos el tarro con él,

lo que sí tienen en común seguro es la x, segurísimo.

Bueno, pues sacamos factor común a la x.

Podríamos haber sacado factor común al 6, pero no quiero liaros.

Sacar factor común es...

esto.

-6x al cuadrado,

si lo divido entre x,

nos queda -6x.

Recordad que para dividir potencias de la misma base,

se restan los exponentes y por tanto,

x al cuadrado entre x a la 1, me da x a la 1.

6x entre x, 6.

La comprobación de que lo hemos hecho bien es muy sencilla,

si ahora, yo multiplico este por este y este por este,

nos tiene que dar otra vez lo mismo.

X por -6x es -6x al cuadrado,

y x por -6...

No, no es -6, es más, ¿veis como hay que comprobarlo?

X por 6, 6x, ¿bien?

Pues llegados aquí, es muy fácil continuar,

porque si yo multiplico dos cosas,

dos números,

y me da cero,

significa que uno de los dos tiene que valer 0,

no sabemos cuál, o será 0 este, o será 0 este.

Y teniendo en cuenta eso, o será 0 la x,

y por lo tanto, la x valdrá 0, o será 0 todo esto de aquí.

Que x es 0 ya es una solución del ejercicio.

Y de aquí, simplemente tendremos que despejar.

El 6 que está sumando pasa al otro lado restando,

el -6 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo,

y -6 entre -6, me queda 1.

Tendríamos las dos soluciones de nuestra ecuación.

Repito, se saca factor común,

una vez que lo tenemos sacado y está comprobado que está bien,

tenemos en cuenta que la multiplicación de dos términos,

si me da 0, es porque uno de los dos vale 0.

O es 0 el primero,

o es 0 el segundo.

A partir de aquí, se hallan las soluciones correspondientes,

porque me quedan ecuaciones de primer grado.

Esta sería la solución uno, esta sería la solución dos.

¿Bien?

Esta de aquí.

Es prácticamente la misma de la anterior,

con la ventaja de que ya alguien ha sacado el factor común.

Nos vuelve a pasar otra vez lo mismo,

si esto por esto es igual a 0,

significa que uno de los dos términos

tiene que valer 0

y por tanto, tendremos dos posibles soluciones.

O que 2x menos 3 sea igual a 0,

o que 3x más 8

sea igual a 0.

A partir de aquí, quedan dos ecuaciones de primer grado,

que ya se supone que es muy fácil de despejar.

El -3 que está restando, pasa sumando

y el 2 que está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo.

Tendríamos nuestra primera solución.

En la segunda, haríamos lo mismo.

El 8, que está sumando, pasa restando

y el 3, que está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo.

Siempre que os den fracciones, hay que simplificarlas,

intentando dividir arriba y abajo entre el mismo número,

y siempre que de fracciones,

normalmente, los profesores de matemáticas

no les gusta que las hagamos, es decir,

esta podríamos haber puesto que es 3 entre 2, 1.5,

pero les gusta mucho más las fracciones.

Llegados aquí, ya habríamos terminado

todo tipo de ecuaciones de segundo grado,

tanto completas como incompletas.

Como siempre, practicad y practicad y aprobaréis.

Hola, chicos, ¿cómo estáis? Aquí estamos otra vez,

trabajando ejercicios, en este caso,

de planteamiento de ecuaciones.

Se empieza a hacer en Segundo o Tercero de la ESO.

Y son los típicos ejercicios en los que hay que averiguar x,

y a veces, x e y, y z,

si estáis en Tercero de Bachillerato, por ejemplo.

Vamos a empezar por unos ejercicios sencillitos

y he tratado de agrupar ejercicios por conceptos.

Por edades, problemas de mezclas,

problemas de tantos por cientos, etcétera.

Empezamos con estos dos, que son de edades.

Yo os recomiendo, lo primero, que os leáis el ejercicio

de un solo golpe, pero por encima,

sin prestar mucha atención a los datos,

sino más o menos, para tratar de entender de qué va.

Y luego, mi consejo es que leáis frase a frase

y vayáis extrayendo datos poco a poco.

Lo leemos de golpe primero,

lo más despacio que podamos,

tampoco vamos a...

Con eso, lo tenemos clarísimo, ya sé de qué me está hablando,

ya me he centrado.

Cuántos años van a tener que pasar.

La edad del padre, que ahora tiene 35,

no sé dentro de cuántos años, los años que tendrá.

¿Al cabo de cuántos años,

la edad del padre, que ahora tiene 35,

será el triple que la edad del hijo, que ahora tiene 5?

Vale, lo hemos leído

lo más rápido posible, de un golpe, por encima.

Ahora, vamos a ir frase a frase, sacando datos.

Un padre tiene 35. Empezamos a escribir.

Tenemos datos. Por ahora, no tenemos incógnitas.

Todo lo que tenemos,

lo que hemos leído, sabemos lo que vale.

¿Qué me está preguntando? Al cabo de cuántos años.

Yo, normalmente, el 99 por ciento de las veces,

os digo: "Lo que os pregunte el ejercicio, convertidlo en una x".

Si convertís en una x lo que os pide el ejercicio,

cuando resolváis la ecuación que hayáis conseguido plantear,

habréis resuelto el ejercicio.

Hacedlo todas las veces que podáis.

Bueno, vamos a pensar que x

son los años que tienen que pasar.

Cuando hayan pasado x años, el padre, ¿cuántos tendrá?

Os la pongo con un ejemplo sencillo.

Siempre que vayáis a hacer ejercicios de este tipo,

olvidaos de las x durante un rato y pensad en números normales.

Imaginaos que dentro de siete años,

¿qué edad tendrá el padre? Pues 35 más 7, 42.

Y vosotros, pues la que tengáis ahora, más 7.

¿Y el niño? Pues 5 más 7.

Lo entendéis con un 7, ¿verdad? Pues con una x, es lo mismo.

Si han pasado x años,

¿cuántos años tendrá el padre? 35 más x.

Y el hijo, ¿cuántos tendrá? 5 más x.

¿Entendéis eso? Vale.

Cuando vayáis a trabajar con x, pensad en números normales

y así sabréis si hay que sumar, restar, multiplicar, dividir...

El padre sabemos que tendrá esta edad y el hijo, esta.

La edad del padre,

esta edad,

será el triple que la del hijo, que esta.

Ya tenemos algo para plantear.

La edad del padre cuando hayan pasado esos años,

esa será la edad del padre,

será el triple que la del hijo.

¿Cómo se hace el triple de algo? La edad del padre será

la del hijo multiplicada por tres.

También me podrían haber dicho tres veces mayor.

La edad del padre será la del hijo por 3.

A veces, os confundís y ponéis este 3 aquí,

multiplicando a este. No tiene sentido

que la edad del hijo sea la del padre por 3, es imposible,

porque el hijo sería mayor que el padre.

Pensad en estas cosas cuando no sepáis dónde poner los números,

en la vida real.

Otras veces, en lugar de decir el triple, me dice:

"La edad del padre será tres años más que la del hijo".

Pues la del padre sería la del hijo, más 3.

Entendéis eso, ¿no?

Una vez que tenemos esto, el ejercicio es muy sencillo,

es una ecuación y se supone que ya sabéis hacer ecuaciones,

he grabado montones de vídeos para hacer ecuaciones,

así que esto lo haré lo más deprisa posible.

Aquí he aplicado la distributiva.

El 15, que está sumando, pasa restando, 35 menos 15 es 20.

Y x, que está sumando, pasa restando.

3x menos x, 2x.

Este 2, que está multiplicando ahora, pasa al otro lado dividiendo.

Y me queda esto.

Sé que me he estirado mucho y he hecho una charla gigante,

pero era para que tratarais de entenderlo.

Dentro de 10 años, vamos a comprobarlo.

El padre, ¿qué edad tendrá? El padre tendrá 45.

Y el hijo, ¿qué edad tendrá? Tendrá 15.

¿Es 45 el triple de 15? Sí.

45 es 3 por 15.

Esa sería la comprobación.

Normalmente, comprobadlo, porque a veces, os dan resultados...

rarísimos y os quedáis tan panchos.

O panchas.

Por ejemplo, si la x me da negativa, no puede ser que haya pasado

el tiempo para atrás, porque si no, me diría: "¿Hace cuántos años...?".

O me da que x vale 187,

si han pasado 187 años, el padre ya está muerto

y el hijo, también. Lo entendéis, ¿no?

A veces, os quedáis con la primera solución que aparece

y no lo pensáis. Vamos con el segundo.

Primero, leemos el trabalenguas.

Tela marinera. Como lo que me pide es la edad de Luis, que además,

es el único que está hablando y la única incógnita que tengo,

aunque no haya leído el ejercicio detenidamente,

ya sé lo que va a ser x, y va a ser Luis,

la edad de Luis,

los años de Luis, ¿de acuerdo?

Y ahora, empezamos a leer el enunciado despacito

y a ir cogiendo cosas.

Vamos a plantear.

Si Luis tiene x años,

dentro de tres años,

¿cuántos años tiene?

Pensad en vosotros mismos.

Si ahora tenéis 14 años,

dentro de tres años, tendréis 14 más 3,

si tenéis 62 años,

dentro de tres años, tendréis 62 más 3.

Pues dentro de tres años, si ahora tiene x, Luis tiene x,

dentro de tres años, tendrá x más 3.

Y como luego habla de los años que tenía hace tres años,

lo vamos a plantear al revés.

Hace tres años,

¿qué edad teníais vosotros?

Teníais la edad que tenéis ahora, menos 3.

Si ahora tenéis 14, teníais 14 menos 3, 11.

Si ahora tenéis x,

x menos 3. Esto será muy importante,

porque va a tener que aparecer en la ecuación.

Estos son los años que tendré, que tendrá Luis

dentro de tres años

y estos son los que tenía antes, hace tres años.

Empezamos.

Es esto.

Si al triple de estos años

le resto, le resto,

el triple, habrá que multiplicar por 3 a algo,

de los años que tenía hace tres años, que son estos.

Es decir...

Esta operación me tiene que dar los años que tiene ahora.

¿Y qué años tiene ahora?

X, es mi incógnita. ¿Lo veis?

Si esto lo habéis entendido, el ejercicio está chupado.

Aplicamos distributiva.

Cuidado con este menos.

3x menos 3x se termina yendo, me queda 0

y 9 más 9, me queda 18.

Por tanto, Luis tiene 18 años.

Ya se puede sacar el carnet de conducir en España,

no sé en otros países cómo estará.

18 años.

Vamos a comprobarlo. ¿Qué edad tendrá dentro de tres años?

Si ahora tiene 18, dentro de tres años tendrá 21.

¿Cuántos tenía hace tres años?

Tenía 15.

Bueno, pues dice...

Si al triple de 21

le resto el triple de los que tenía hace tres,

el triple de 15,

le tiene que dar los años que tiene ahora, 18.

Está comprobado.

Os digo lo mismo de antes, no puede dar x negativa,

no os puede dar la x

que tenga dos años, porque si tiene dos años,

la edad que tenía hace tres, es -1, no había nacido, imposible.

Cuidadito con estas cosas,

no puede dar 120, no pueden dar cosas raras.

Ni un número decimal, por cierto.

En muchos ejercicios, os quedáis muy tranquilos,

¿dentro de cuántos años? Y os da 3,127.

Es muy raro que quien se haya inventado el ejercicio

lo haya hecho para que queden números decimales en la edad,

por ejemplo, tratad de repasar, que alguna cosita estará mal.

Lo primero que tenéis que repasar siempre es la ecuación planteada,

porque podéis hacer ecuaciones de maravilla,

pero si está mal planteada, no sirve de nada.

Es posible que grabe otros vídeos en los que no resuelva el ejercicio,

solamente lo plantee, pero bueno, será más adelante.

Lo dejo en plan votación popular, si queréis que los termine

o con plantearlos es suficiente. Podré plantear más, desde luego.

Como siempre, chicos, esto, más que ninguna otra cosa,

se trata de practicar muchísimo, cuanto más practiquéis,

con más soltura iréis y menos os confundiréis, segurísimo.

Practicad y practicad y esta vez, sí que os prometo que aprobáis.

Hola, chicos, ¿qué tal? Gracias por venir a clase,

aquí estamos otra vez, en este caso, con el último vídeo de hoy,

que es de plantear ecuaciones de obreros

o grifos.

Son los típicos ejercicios en los que sabemos lo que tarda

un grifo o un obrero por separado,

otro grifo o un obrero por separado

y luego, nos dicen también lo que tardan juntos.

Y de ahí, planteamos ecuaciones.

Grifos en una piscina u obreros en una obra.

En este caso, lo he hecho con obreros y dice así.

No sabemos lo que tarda el primero, ni lo que tarda el segundo

en hacer el mismo trabajo por separado, se supone.

No dice ni lo que tarda el primero, ni el segundo por separado.

Pero sí nos dicen lo que tardan los dos juntos.

¿Entendéis qué es lo que preguntan, por lo menos? Bien.

Para poder hacer este ejercicio, hace falta plantear ecuaciones.

Con x, no sé si con y, pero al menos, con x, seguro.

Pero antes de empezar, voy a plantear el ejercicio

como se haría la vida normal, si no hubiera ecuaciones por medio.

Y no es tan fácil como parece, me he encontrado

con alumnos de universidad que no saben hacer este ejercicio.

Un ejercicio normal.

Si, por ejemplo, un obrero tarda dos horas

en hacer un trabajo él solo

y otro obrero tarda tres horas en hacer un trabajo él solo,

la pregunta es cuánto tardarán los dos juntos en hacerlo.

Y esto no es ninguna tontería, es muy útil y se utiliza mucho,

por ejemplo, para plantear este tipo de ejercicios.

¿Cuánto tardará un obrero solo? Dos horas.

¿Cuánto hace en una hora?

En una hora, el primer obrero...

En dos horas, el primer obrero

hará un trabajo, el que sea,

pintar la pared o lo que sea.

Si fueran grifos, sabríamos que en dos horas, llena una piscina.

Si en dos horas realiza un trabajo,

en una hora,

¿cuánto trabajo realizará? X, no lo sabemos.

Se plantea la regla de tres y sería, 1 por 1,

1, dividido entre 2, un medio.

Tiene sentido

que haga un medio del trabajo

en una hora.

Podríamos haberlo hecho sin regla de tres,

si tarda dos horas en hacer un trabajo,

en una hora, hará la mitad, un medio de ese trabajo.

Con este de aquí, pasaría lo mismo.

Si tarda tres horas en hacer un trabajo,

¿cuánto hará en una hora?

X, no lo sabemos, 1 por 1, entre 3.

Lógicamente,

será un tercio del trabajo en una hora.

Tiene sentido, si un trabajo lo hace en tres horas,

en una hora, hará la tercera parte del trabajo,

suponiendo que siempre va a la misma velocidad,

igual que si fueran grifos.

Ya sabemos lo que hace el primer obrero en una hora,

sabemos lo que hace el segundo obrero en una hora,

y podremos calcular lo que hacen los dos juntos en una hora.

Es una hora, los dos juntos harán

un medio del trabajo más un tercio del trabajo.

Si hago la suma de estas dos fracciones,

me quedará un 6 abajo, 6 entre 2, 3, por 1, 3,

6 entre 3, 2, por 1, 2.

Y sabemos que hacen... qué 2 más feo.

Sabemos que hacen cinco sextos del trabajo en una hora.

Eso será muy importante.

Sabemos que hacen

cinco sextos del trabajo en una hora los dos juntos.

¿Bien, seguro?

Perfecto.

Pues si cinco sextos del trabajo

lo hacen en una hora,

un trabajo entero, ¿lo harán en cuántas horas?

En x.

Y para poder hacerlo, se multiplica en cruz.

Se hace una regla de tres, como siempre.

1 por T, 1 por 1, un trabajo.

1 partido entre cinco sextos.

Eso será la x.

Y 1 partido entre una fracción

es la fracción dada la vuelta.

Me queda seis quintos,

y eso es 1.2 horas.

Pues podríamos jurar, si uno tarda 2 y el otro, 3,

que los dos juntos, tardarán menos,

y tardarán 1.2 horas en hacer el trabajo.

Si entendéis esto bien, esto no os resultará muy difícil,

pero si no sabéis hacer el ejercicio sin x, sin y, sin nada,

si no sabéis hacer el ejercicio normal y cotidianamente,

esto os resultará imposible.

Espero que esto lo hayáis entendido bien,

porque vamos a plantear lo mismo, pero en este caso,

nuestras incógnitas son esto y esto

y lo que tenemos es esto.

¿Veis? Dos horas, 1.2.

Ahora tenemos lo que tardan los dos juntos

y nos piden lo contrario.

Hay que hacer el ejercicio, pero al revés, ¿de acuerdo?

Bueno, chicos, continuamos, he borrado la pizarra

y vamos a plantear el mismo ejercicio,

pero arrastrando x hasta el final, porque no conocemos

ni lo que tarda el primero él solo, ni lo que tarda el segundo él solo.

El primero, ¿cuánto tarda en hacer el trabajo él solo? No lo sé.

Y el segundo tampoco.

Como el primero tarda tres horas más que el segundo,

al segundo le voy a llamar x

y al primero, le voy a llamar x más 3.

También se podría haber planteado diciendo que el primer obrero

tarda x y el segundo, tarda menos.

¿Tarda menos el segundo que el primero? Sí.

El segundo tardará lo que tarda el primero, menos 3 horas.

¿Veis las posibles variaciones? Vale.

Una vez que tenemos claro lo que tarda el primero

y lo que tarda el segundo con x de por medio,

planteamos lo mismo que antes.

Vamos a calcular lo que tarda él solo,

lo que hace él solo en una hora.

En una hora, ¿qué fracción del trabajo hará? La voy a llamar y.

No sabemos qué fracción es.

Esa fracción será esta.

El problema es que ahora, nos quedan x de por medio.

Con el segundo obrero, exactamente igual.

Si en x horas, él solo hace un trabajo,

en una hora, ¿cuánto hará?

Voy a poner una raya para no mezclar.

En una hora, hará una fracción y del trabajo.

En este caso, será...

¿Esto lo entendéis? Esta es la fracción del trabajo

que hará el primer obrero en una hora

y esto es la que hará el segundo obrero en una hora.

Con lo cual, los dos juntos...

La fracción del trabajo que harán los dos juntos en una hora

será lo que haga el primero en una hora más el segundo en una hora.

La fracción del primero, más la fracción de segundo.

¿Esto lo entendéis? Vale.

Vamos a desarrollar esto un poco sumando expresiones algebraicas.

Cuando tengo dos monomios abajo, hay que hacer el común denominador

con el mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo de estos dos valores es este.

Y ahora, como cuando sumo fracciones, se divide esto

entre el de abajo y lo que me da, lo multiplico por el de arriba.

X por x más 3 dividido entre x,

me queda x más 3,

x más 3, por 1, x más 3. Espero que esto lo veáis.

Esto entre x, me queda x más 3, por 1, x más 3.

Si todo esto lo divido entre x más 3,

esto por esto, entre esto, me queda x,

y x por uno, x.

También hay gente que hace este por este, abajo,

este por este, arriba, este por este, también arriba.

También se puede hacer así.

Esto ya, un poco más simplificado, quedaría así.

Fijaos lo que he hecho.

X más x, 2x, x por x, x al cuadrado y x por 3, 3x.

Esto es lo que hacen los dos juntos en una hora.

¿Lo entendéis? Vamos a borrar todo esto.

Como veis, hay que hacerlo paso a paso.

Los dos juntos, en una hora, hacen esto.

Esto sería una fracción del trabajo correspondiente, no sabemos cuál es.

Pues si los dos juntos en una hora hacen toda esta fracción de trabajo

y sabemos que tardan dos horas en hacer un trabajo completo,

¿lo entendéis?

Si en una hora, hacen esta fracción del trabajo, y en dos horas,

hacen un trabajo entero, podemos plantear una regla de tres,

nos quedaría que esto por esto debe ser lo mismo que esto por esto.

Es decir, 1 por 1, sería proporcional,

será igual a esto por esto.

¿Esto lo entendéis?

Esto por esto me tiene que dar lo mismo que esto por esto.

¿Bien? Regla de tres, proporcionalidad.

A partir de aquí, me va a quedar una ecuación de segundo grado.

Esto lo paso al otro lado multiplicando.

Y en el otro lado, me queda esto.

¿Vale?

Pasamos todo hacia un lado.

Y esto es una ecuación de segundo grado,

que se hará con la formulita.

La a es 1, la b es -1

y la c es -6.

Voy un poquito rápido, porque se supone

que ya estáis en Tercero o Cuarto de la ESO.

Menos por menos, más, y me queda 1...

me queda 1 más 24.

Sé que voy un poquito deprisa.

Me queda 25.

La raíz cuadrada de 25 son 5.

Pues fenomenal, porque todo esto me quedará así.

Esto tiene dos soluciones.

1 más 5, 6, que entre 2, es 3.

Y 1 menos 5 es -4, entre 2, -2,

y esta la descartamos de inicio, ¿por qué?

Porque esto es el valor de x,

que es lo que tarda el segundo obrero,

son las horas que tarda el segundo obrero

y no me puede dar un valor negativo.

Tenemos este valor, sería 3.

Nos ha dado, encima, completamente entero,

así que estoy bastante seguro del resultado.

Nos ha quedado más pequeño que dos horas,

bueno, un poquito más grande que dos horas,

pero no nos ha dado 10 horas, ni 20 horas, ni nada exagerado.

Y podemos prácticamente jurar

que el segundo obrero tardará

tres horas en hacer el trabajo él solo

y el primer obrero, que tarda x más 3,

tardará 3 más 3, que son 6 horas.

Este tarda 3, este tarda 6, los dos juntos, tardan 2.

Podríais comprobarlo haciendo lo mismo que hicimos

al principio del vídeo. Espero que haya quedado claro,

aunque sé que es un poquito farragoso.

Me lo he encontrado en alumnos de Primero de Bachillerato,

no penséis que es que esto se da en Segundo de la ESO,

porque hay que trabajar con suma de fracciones,

proporcionalidad, ecuaciones de segundo grado

y es bastante más complicado que los típicos ejercicios

de edades, de patos, de picos o lo que sea.

Cuidadito, practicad y practicad, os prometo que aprobaréis,

nos vemos en clase, hasta luego.

Hola, chicos, ¿qué tal? Gracias por venir a clase.

Aquí estamos otra vez, aunque estemos malitos,

estoy malito,

con ejercicios de plantear ecuaciones.

Estos dos que me habían planteado en Facebook hace poco

y son típicos, además,

uno con tantos por ciento de beneficios en una venta

y otro, con lo que queda al final

si voy gastando unas determinadas cantidades.

Este os suele dar problemas en particular.

Leemos despacito, como siempre,

los enunciados y tratamos de plantear las ecuaciones

y las incógnitas que nos hacen falta.

Nos centramos y nos imaginamos a Luis viajando en su coche.

Llenó el depósito

y consumió en la primera parte del viaje que hizo,

no sabemos cuándo paró, gastó dos tercios de la gasolina.

Eso nos será muy útil para saber lo que le quedaba.

En la segunda etapa,

consumió la mitad de la gasolina que le quedaba.

No la mitad de la que tenía al principio,

si no de la que le quedaba.

Hemos leído el enunciado,

nos ha servido para centrarnos un poco

y contextualizar esto un poquito, y saber de qué estamos hablando.

Empezamos a leerlo despacito

y a plantear las incógnitas que necesitemos.

Si me dice que con cuánto empezó en el depósito,

casi seguro que mi incógnita será x, eso seguro,

y será la gasolina que tenía al principio.

Vamos a ver qué va ocurriendo según vaya leyendo.

En la primera etapa, consumió dos tercios. Vamos a ver.

Tenía un depósito lleno

y si lo dividimos en tres partes,

consumió dos tercios.

Dividimos entre 3, cogemos 2.

Evidentemente, ¿cuánto le quedará?

Le quedan...

o le queda un tercio.

Sería 1 menos dos tercios.

O tres tercios menos dos tercios. ¿Esto lo entendéis? Es fácil.

Si consume dos tercios, le queda un tercio.

Continuamos leyendo.

En la siguiente etapa,

ya había consumido esto,

la mitad de lo que le quedaba.

Es decir, de esto, ha consumido la mitad.

La mitad de algo es un medio.

Un medio de lo que le quedaba, es decir, ¿de qué?

¿Cuánto le quedaba? Un medio de un tercio.

Aquí está el truco del ejercicio.

Un medio de un tercio.

Un medio de un tercio se hace multiplicando

el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo.

Realmente, lo que consumió es un sexto.

No me hacía falta para el ejercicio, pero bueno.

¿Cuánto le queda? Si consumió un medio,

¿cuánto le falta? Otro medio.

En este caso, nos dará lo mismo. Será lo que le queda.

Acabamos de calcular la fracción del total,

que a veces, lo preguntan así, "calcula la fracción

del depósito inicial que le queda".

Bueno, pues le queda un sexto. Esto corresponde a un sexto.

Espero que lo hayáis entendido.

Sabiendo la fracción que le queda del depósito

y sabiendo que son 20, el ejercicio no es difícil,

¿por qué? Porque un sexto...

de x, un sexto de todo el depósito,

tendrá que ser igual a 20.

Y esto es muy fácil de despejar,

porque el 6 que está dividiendo, pasa al otro lado multiplicando.

Esta sería la solución de mi ejercicio.

Os lo voy a poner un poco más complicado.

Imaginaos que en lugar de la mitad, dice que gasta...

una cuarta parte de lo que le quedaba.

En ese caso, diríamos...

¿Veis cómo he retrocedido en el ejercicio?

La primera parte sería igual, pero ahora, en la segunda etapa,

gasta un cuarto de lo que le quedaba,

si gasta un cuarto...

de lo que le quedaba, un cuarto de un tercio.

Si gasta un cuarto, ¿cuánto le queda?

Si gasta un cuarto, le quedan tres cuartos,

eso tenéis que intentar entenderlo.

Si al final, le quedaba esto

y lo divido en cuatro partes

y gasta un cuarto,

le quedaban tres cuartos.

Tres cuartos de este trozo,

que era un tercio,

esto será lo que le quede.

Esa fracción debemos simplificarla.

Hallar la fracción irreducible, que se llama,

dividiendo arriba y abajo entre 3, y nos quedaría esto.

Pues este cachito que le ha quedado,

si ha gastado esto,

todo este trozo será un cuarto.

Y si eso es un cuarto,

ya sabemos esto.

Os lo he hecho con dos datos diferentes,

para que veáis las diferentes formas de hacerlo.

En el fondo, es la misma, si gasta un cuarto,

le quedan tres cuartos,

¿de todo el depósito? No,

de lo que le había quedado. De un tercio.

Si lo habéis entendido, estoy supercontento

y vosotros aprobaréis seguro cuando caiga un ejercicio de estos,

y ya estaría hecho, no tenemos más problemas.

Vamos con el segundo.

Vamos a leerlo despacio como siempre.

Muy bien, Juan, has hecho un negocio estupendo,

no sé cuánto habrás tardado en venderlos,

pero has ganado 260 euros.

Lo veis, ¿no?

Para muchos, nada más leer el enunciado,

esto suena a ciencia ficción y muy raro.

Porque lo del 10 por ciento y lo del 15 por ciento les destroza.

Este ejercicio en particular lo voy a plantear con dos incógnitas

para que veáis cómo se hace.

¿Cuánto vale el ordenador?

X.

Y el televisor, ¿cuánto vale?

Y.

Ya, por lo menos, he planteado mis dos incógnitas

con los datos que me están pidiendo.

Me pide cuánto costaron y a eso le he llamado x e y.

Y yo ya sé que lo que costó x, más lo que costó...

Perdón, y no sería 2000,

sería la tele.

El ordenador, x, la tele, y.

Y lo que costaron los dos, sumados,

tendrá que ser 2000 euros, con lo cual, tengo una ecuación.

Lo que costó uno, más lo que costó el otro, 2000 euros.

Si lo quisiera haber planteado con una sola incógnita,

este sería x y este, 2000 menos x,

porque si este vale 500,

este será 2000 menos 500, 1500.

Lo veis, ¿no?

Si este es x, este es 2000 menos x,

pero voy a hacerlo con dos incógnitas, x e y.

Esto es lo que costó.

Ahora, vamos a ver lo que ganó.

¿Cuánto ha ganado en total?

Le costó todo 2000 euros,

lo vendió por 2260, ¿cuánto ganó?

Pues 2260 menos 2000 euros.

Si lo resto, ganó 260 pavos.

Pavos, dólares, lo que queráis llamarlo, ¿vale?

260 euros fue su ganancia,

lo que ganó con ellos, bien,

eso es importante, ganó 260 euros.

Vamos a calcular lo que ganó con el primer artículo,

lo que ganó con el segundo artículo

y la suma de lo que ganó con ambos artículos

tendrá que ser igual a 260.

¿Cuánto ganó con el ordenador? El 10 por ciento de su precio.

El 10 por ciento de x...

es esto.

El porcentaje de algo se calcula

multiplicando por el tanto y dividiendo por 100.

Esto es lo que ganó con el ordenador.

El 10 por ciento de su precio.

Más lo que ganó con la tele.

¿Cuánto ganó con la tele? El 15 por ciento, ¿de qué?

de su precio.

Ganó esto.

Lo que ganó con el ordenador,

más lo que ganó con la tele,

tendrá que ser igual a 260 euros.

Y de aquí, nos queda una ecuación. ¿Lo habéis entendido? Vale.

Con esta ecuación y esta ecuación, nos queda un sistema.

Podríamos incluso ponerlo más bonito, así.

Como el denominador es el mismo, nos quedaría así.

El 100, que está dividiendo, pasa al otro lado multiplicando.

Ya lo podría quitar. Lo veis, ¿no? ¿Estáis viendo,

aunque vaya un poquito rápido? Eso ya son ecuaciones.

Nos queda una ecuación

y nos queda otra ecuación con dos incógnitas,

que haremos por igualación, sustitución o reducción.

Mi consejo es que esta, la tratéis de simplificar al máximo.

Por ejemplo, podemos dividir todo entre 5. Sería así.

Y esta ecuación y esa

son mucho más fáciles de trabajar con ellas.

El mejor método sería reducción,

pero a mí me gusta en estos ejercicios sustitución.

Despejo x.

Y si este valor de x

lo sustituyo aquí,

me quedará una ecuación en la que solo hay y.

No os lo voy a resolver, porque para eso, podéis ver

los vídeos de sistemas de ecuaciones por igualación,

sustitución o reducción.

Se trata simplemente de plantearlos y que no os volváis locos

cuando veáis ejercicios de este tipo.

Insisto, he planteado lo que gano con uno,

más lo que gano con el otro, igual a lo que gano en total.

Si os fijáis, no he usado 2260 en la ecuación,

solo la resta entre ambos.

Con esas cosas tenéis que tener cuidado.

Como siempre, es cuestión de practicar mucho

y cuanto más hagáis, nada más verlos, diréis:

"Ya sé hacerlo", "Esto es así", "Esto creo que va a ser así",

poco a poco, irán saliendo mucho mejor,

iréis cogiendo más confianza y descubriréis que las matemáticas

no son tan difíciles, chicos, os lo prometo.

Practicad y aprobaréis, hasta luego.

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Aprendemos en casa - De 12 a 14 años - Matemáticas: polinomios y ecuaciones con David Calle

30 mar 2020

Polinomios (sumas y restas) y ecuaciones de primer y segundo grado con David Calle. 
Programa que te ayuda a refrescar todo lo que estás aprendiendo en tu escuela. Puedes seguir tus estudios de la forma más divertida. Te ayudará a volver al colegio con la mente fresca y preparada para acabar tu curso escolar. Sigue formándote mientras estás en casa

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