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Aprendemos en casa

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Para todos los públicos Aprendemos en casa - De 12 a 14 años - Matemáticas - ver ahora
Transcripción completa

Muy buenas matemaniacos y matemaniacas, soy Luis,

vuestro profesor de matemáticas.

Quiero daros la bienvenida a la hora de pensar en matemáticas,

para los que tenéis entre doce y catorce años.

Bueno, bueno,¿cómo vais?

¿qué tal ha ido esta semana pasada?

Espero que hayáis tenido tiempo para hacer vuestras cosas

e incluso para pensar en matemáticas.

Ya sabéis, cerebros activos, por favor.

En la clase de hoy, continuamos con la geometría

repasando, como calcular el perímetro y el área de algunas figuras

como por ejemplo, el pentágono, el hexágono o el octógono.

También repasaremos el concepto de apotema;

la apotema en una figura regular

es la distancia que une el centro de la figura

con el centro de cualquiera de sus lados.

Esta palabra viene del griego apotitenai, que significa, bajar,

y diréis, y esto que tiene que ver.

Pues supongo que será, porque siempre se suele pintar

la línea que une desde el centro hacia el lado de abajo.

Porque queda más chulo.

También vais a ver vídeos que hablarán de los elementos

de la circunferencia.

Conceptos como radio, diámetro, cuerda o semicircunferencia.

Revisaremos también el perímetro de una circunferencia

y el área de un círculo.

Porque la circunferencia como tal no tiene área,

ya que es la línea de fuera.

El área que calculamos,

es el espacio encerrado dentro de la circunferencia

o el área de un círculo.

Y la corona circular, lo que viene siendo una rosquilla.

Veréis que útil el concepto de espacio negativo,

para calcular el área de una corona circular.

Y cómo no, el número Pi

que llevo varios días usándolo para despedir esta introducción

y todavía no os he contado nada de él.

Bueno, pues o me enrollo más, que empezamos.

Estad muy pendientes de lo que os van a contar los vídeos

que vienen a continuación.

Ya sabéis, que justo antes de terminar,

aquí estaré de nuevo, os contaré algo sobre el número Pi

y os propondré un reto para pensar el espacio negativo.

Nos vemos, en Pi medios.

Hola.

En este vídeo calcularemos perímetros y áreas de polígonos regulares.

Recordemos en primer lugar, que un polígono regular

es un polígono, donde todos sus lados miden lo mismo

y todos sus ángulos son iguales.

Los polígonos regulare de tres ángulos

son los triángulos equiláteros.

Los polígonos regulares de cuatro lados

son los cuadrados.

Y aquí en pantalla tenemos: pentágono regular,

un hexágono regular

y un octógono regular.

Dado un polígono regular,

su centro es el punto interior

equidistante a todos sus vértices,

o sea, el punto que está a igual distancia de todos los vértices.

Para pentágono tendremos que este sería su centro,

para el hexágono tendremos que este es su centro

y para el octógono este sería su centro.

Ahora, para un polígono regular

una apotema de este, es un segmento, que une,

el centro de este polígono regular

con uno de sus lados,

siendo perpendicular a este.

Recuerda que parte del centro del polígono regular, y,

llega a cada uno de sus lados siendo perpendicular a estos lados.

Así, si consideramos la apotema correspondiente

a los lados inferiores de los polígonos regulares anteriores,

del primer caso, esta sería la apotema;

en el segundo sería, ésta,

y en el tercero, ésta.

Pasamos a hablar de perímetro

y área de un polígono regular.

Para el perímetro, como siempre,

será la suma de las longitudes de sus lados.

Pero como en este caso,

como estamos ante in polígono regular

todos los lados miden lo mismo.

Luego, el perímetro será el número de lados

por la longitud de uno cualquiera de sus lados.

Nosotros razonaremos en cada caso ¿eh?

Para el cálculo del área

en lugar de recortar formulas,

como siempre, razonaremos.

Así, fíjate en las figuras anteriores

Si unimos el centro de cada uno de los polígonos,

con cada uno de los vértices,

obtenemos triángulos iguales, como puedes ver.

Luego, el área

de cada uno de los polígonos regulares anteriores,

pues será, el número de triángulos que tenemos en cada caso.

Ese número coincidirá con el número de lados

por el área de cada uno de estos triángulos;

por ejemplo, el inferior.

Observa además,

que la altura de este triángulo coincide con la apotema.

Luego, razonando de este modo,

obtendremos el área del polígono regular.

Lo vamos a ver, muy claro en los siguientes ejemplos.

En el primer ejemplo calculemos el perímetro y el área

del octógono regular que aparece en pantalla.

Observa, que en este octógono nos dan

la longitud de uno de los lados,

que es cuatro centímetros,

ya sabes que hacer un octógono regular

todos los lado miden cuatro centímetros

y nos dan también la apotema, que es 4,83 centímetros.

Entonces, el primer lugar el perímetro es muy sencillo,

sería sumar las longitudes de los lados.

Entonces, vamos a denotar por P al perímetro,

observa que tendríamos que sumar cuatro centímetros, ocho veces,

porque todos los lados miden cuatro centímetros

y tenemos ocho lados,

por lo tanto, esto sería 8 X 4

que te queda 32

Como la longitud del lago que nos da está en centímetros,

pues esto serían centímetros.

Ahora pasamos a calcular el área de este octógono

y para ello, pues lo que vamos a hacer

es dividir, de forma adecuada, este octógono en triángulos.

Desde el centro del octógono vamos a unir,

este, con cada uno de los vértices del octógono formando triángulos.

Ahí lo tenemos.

Observa que tenemos ocho triángulos

y vamos a considerar uno de estos triángulos.

Ahí tenemos los datos que aparecían, en el octógono,

la base es cuatro centímetros;

ahora tenemos que la altura de este triángulo

coincide con la apotema del octógono, que vale 4,83 centímetros,

y entonces, bueno,

observa qué, cuando hemos dividido el octógono en triángulos,

estos triángulos son todos iguales.

Entonces, tenemos ocho triángulos, todos iguales,

pues el área del octógono, será,

multiplicar por ocho, el área de cualquiera de estos triángulos,

por ejemplo, este que tenemos aquí.

Entonces, el área nos quedaría...

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

Observa que estas longitudes vienen en la misma unidad de medida:

en centímetros.

Entonces no hay problemas.

En otros casos tendríamos que pasarlo a otra unidad de medida.

SIGUE LOS PASOS EN PANTALLA.

Tanto el lado, como la altura o apotema

venían en centímetros,

pues esto serían centímetros cuadrados.

Ahí tenemos calculado el perímetro de este octógono regular

y el área.

Y ahora en el segundo ejemplo, calculemos el perímetro y el área

del hexágono regular que aparece en pantalla.

Observa, que en este caso,

solo nos están dando la longitud de un lado.

Vale tres metros, ya sabes, que entonces,

todos los lados miden tres metros

porque estamos ante un hexágono regular.

Entonces, en primer lugar el perímetro

que denotamos con P

Todos los lados miden tres metros,

tenemos seis lados,

luego el perímetro sería 6 x 3 = 18,

como del lado viene dado en metros, pues esto serían metros.

Para el área

vamos a descomponer el hexágono regular en triángulos.

Partiendo del centro del hexágono

y uniendo este, con cada uno de los vértices.

Ahí lo tendríamos.

Ya sabes que estos triángulos al estar ante un hexágono regular

pues van a ser igual de grandes, y por lo tanto,

el área, del hexágono va a ser seis veces el área

de uno de estos triángulos.

Vamos a considerar este triángulo que tenemos aquí

y tendremos que calcular el área de este triángulo,

pero observa que tenemos la base, que es tres metros

y no tenemos nada más.

Nos faltaría la altura, que corresponde con el apotema,

del hexágono regular.

Entonces, ¿cómo hacemos esto?

Bueno, en primer lugar,

pues nos vamos a fijar en el ángulo central

que ponemos ahí en rojo.

Esto es una circunferencia entera, luego esto mide 360

Observa que tenemos seis triángulos, iguales;

luego el trocito de ángulo correspondiente

a cada uno de estos triángulos

que tenemos ahí en el centro del hexágono,

pues sería el mismo.

Por lo tanto, tenemos, que ese ángulo.

O sea, cada uno de estos ángulos

correspondientes a cada uno de los triángulos

medirían 360 divididos entre 6

Esto te queda 60

Entonces, lo vamos a poner ahí.

Ese ángulo mide 60,

pero vamos a calcular los otros dos.

Supongamos que estos miden x

Observa que sus ángulos son iguales,

por eso hemos puesto x en ambos.

Si sumamos los ángulos de un triángulo

pues obtenemos 180,

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

Observa que tenemos un triángulo

donde todos los ángulos miden lo mismo: miden 60

Si esto ocurre en un triángulo, automáticamente,

todos los lados miden lo mismo.

Si los ángulos en un triángulo todos miden lo mismo,

ocurre lo mismo con los lados.

Por lo tanto, todos los lados miden 3 m.

y estamos ante un triángulo equilátero.

El hecho de que sea un triángulo equilátero,

porque, ahora vamos a considerar la altura con respeto la base

de este triángulo equilátero

esto es la altura que queremos calcular

para así hacer base por altura partido 2

y tener el área de este triángulo,

pero observa, que esta altura divide al triángulo

en dos partes iguales.

Tienen las dos partes el mismo área.

De estas partes me voy a quedar con la parte izquierda.

Observa que el lado de la izquierda

es el que tenemos en el triángulo original;

mide 3 m.

Tenemos que la base la hemos partido por la mitad,

al poner ahí la altura,

la nueva base de este triángulo sería la mitad

que lo que mide la base anterior: 3 : 2 = 1,5 m.

y ahora a la altura vamos a llamarle X

Antes hemos llamado a X el ángulo, pero como eso ya ha pasado,

pues no pasa nada,

ponemos X ahí, y ya está.

Entonces, esto es un triángulo rectángulo,

podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Ya sabes:

cateto al cuadrado más cateto al cuadrado

es igual a la hipotenusa al cuadrado.

En nuestro caso tenemos que,

los catetos miden 1,5 m., X

y la hipotenusa mide 3 m.

SIGUE LOS PASOS QUE LA PANTALLA.

Todo viene en metros, entonces, no ha hecho falta convertir

una de las medidas de los lados

en la unidad de medida de las otras

para tener una sola medida de longitud

y bueno, aquí calculamos.

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA

Como tenemos la longitud desde los lados en metros,

pues esto sería metro.

Ya tenemos la altura del triángulo

vamos a ponerlo ahí en el triángulo equilátero

que teníamos.

Entonces, el área, pues ya sabes,

tenemos seis triángulos iguales,

pues sería seis veces multiplicado por el área

de cualquiera de estos triángulos, por ejemplo, este que tenemos ahí.

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

Todas las longitudes vienen en metro,

luego esto, como es un área sería, metros al cuadrado.

Bueno, una observación muy importante

que debes recordar a partir de ahora.

Como has visto en estos ejemplos

por la descomposición en triángulos que hacemos del polígono regular,

pues para calcular el área del polígono regular

necesitarás la longitud de los lados

y la longitud del apotema.

Pero como hemos visto en este segundo ejemplo,

en el caso de tener un hexágono regular,

pues con conocer la longitud de los lados te va a sobrar.

Simplemente tienes que repetir el argumento

que hemos seguido nosotros en este último ejemplo

para calcular el área de este hexágono regular.

Con esto terminamos este vídeo sobre cálculo de perímetros

y áreas de polígonos regulares.

Hasta pronto.

Hola, chicos, qué tal, gracias por venir a clase

aquí estamos otra vez.

Llevaba cinco días sin grabar vídeos, hoy, voy a intentar grabar un montón.

Estoy de casi vacaciones, casi trabajando;

bueno, voy buscando huecos y grabando vídeos.

Este en particular es un hexágono,

me lo ha pedido en youtube

y quiere saber como calcular la apotema,

pero ya de paso averiguaremos el área.

Entonces, tenemos un hexágono regular;

si no fuera un hexágono regular no vamos a poder hacer

lo que haremos ahora,

me dice que él área es 10

y tenemos que calcular la apotema.

Tenemos que calcular la apotema porque me la pide

o porque directamente el área de un hexágono regular...

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

Viendo esta fórmula el perímetro es muy fácil,

porque al ser un hexágono regular

tiene todos los lados iguales,

como tiene seis lados, cada uno de 10 cms.

el perímetro será:

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

¿Cuál es el truco? calcular la apotema.

¿Cómo se calcula?

En un hexágono regular hay una propiedad que dice, qué,

El lado, es igual que el radio,

porque un hexágono regular está dividido

en seis triángulos perfectamente equiláteros.

Esto es diez y esto es diez.

¿Qué es la apotema?

la apotema es, esta distancia.

La altura de ese triángulo ¿de acuerdo?

Bueno, pues en ese triángulo;

en este o en el otro, da igual,

que es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto

se puede aplicar, Pitágoras.

Pitágoras es una de esas cosas

que no se puede olvidar nunca mientras veis matemáticas.

Esto es un ángulo recto, sería ese.

La apotema es este lado.

Este lado es diez.

Y este lado de aquí, no es diez, es la mitad justo, de ese lado.

La mitad de ese lado que es cinco.

Y, aplicamos Pitágoras.

Teorema de Pitágoras:

Pitágoras dice qué: la hipotenusa al cuadrado

es igual a un cateto al cuadrado, más el otro cateto, al cuadrado.

Cuál es la hipotenusa, el lado más largo,

el lado que está siempre enfrente del ángulo recto.

Tened cuidado porque a veces nos dan un triángulo así

y decimos que la hipotenusa es ésta.

No, porque en este caso el ángulo recto sería este,

la hipotenusa es el lado más largo,

y esta sería la hipotenusa.

Borramos esto.

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

El 25 que está sumando, pasa al otro lado retando.

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

El menos en este caso lo descarto,

porque estamos trabajando con distancias

y en esas distancias, la raíz no puede ser negativa.

Nos quedamos solo con la raíz cuadrada positiva.

Esta raíz cuadrada se puede hacer con la calculadora,

pero a los profesores no les suele gustar los números decimales,

les suele gustar que trabajéis con raíces o con fracciones

cuando o da exacto.

Si me hubiera dado la raíz cuadrada 25, pues pongo 5 y ya está,

pero al ser una raíz cuadrada de 75

tendremos que extraer factores de la raíz.

¿Cómo se extraen factores de la raíz?

Factorizando el 75.

¿Entre qué número se puede dividir? Entre 3;

porque 7 + 5 es 12

y el 12 se puede dividir entre 3

75 : 3 = 25

Como termina en 5, se puede dividir entre 5

25 : 5 = 5

5 : 5 = 1

¿Cómo se factorizaría esto?

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PIZARRA

Ya os expliqué en un vídeo como extraer factores de la raíz.

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA.

Esto son centímetros, esto también serán centímetros.

Insisto, que lo podéis hacer con la calculadora

si vuestro profe os deja.

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA.

Y como es un área.

Y en este caso son centímetros cuadrados.

La apotema si me la piden, eso es.

Espero que lo hayáis terminado bien.

Pitágoras dibujar

solo en el caso de que sea un hexágono regular

se cumple que el triángulo es equilátero.

Si fuera un pentágono, por ejemplo,

y me dicen que esto es 10

Lo que tendré que calcular es ese ángulo

que es 360,

toda una vuelta entera,

dividido entre 5, porque hay 5 triángulos.

360 : 5 = 72

Y en triangulito pequeñito, que voy a dibujar ahora en negro,

que es un triángulo rectángulo

tendría que aplicar propiedades de trigonometría.

Si esto es 72, y ese angulito en la mitad,

serían 36,

esto sería 5

esto sería X

y en este caso con el coseno;

cateto opuesto partido entre cateto contiguo

para la tangente de 36, podríamos averiguar X

Pero eso sería trigonometría

y solo lo daréis los que lleguéis a cuarto o primero de Bachillerato.

Como siempre chicos es cuestión de qué practiquéis.

Esto es muy importante cuando hagáis volúmenes de pirámides.

Practicar y practicar y aprobareis.

Hasta luego.

Hola a todos.

En este vídeo introduciremos la circunferencia y sus elementos.

Una circunferencia es el conjunto formado por todos los puntos

que están a una misma distancia r de un punto C

Llamaremos a dicho punto C centro de la circunferencia,

y diremos, que r es su radio.

Así, esto que aparece en pantalla es una circunferencia.

Supongamos que su centro es C y su radio r

Entonces tenemos, que la distancia de cualquier punto

de la circunferencia al centro es r

Así, esta distancia es r,

esta también sería r,

también esta.

También llamaremos radio

además, de a esa distancia común

a cualquier segmento que une un punto de la circunferencia con el centro.

En pantalla mostramos distintos radios de la circunferencia.

Como sabes, todos miden lo mismo: r

Ahora consideremos un punto cualquiera de la circunferencia

y trazamos un segmento, que parte de este punto,

pasa por el centro de la circunferencia,

pero no para ahí,

sigue hasta llegar de nuevo a la circunferencia.

El extremo es un punto de la circunferencia.

Entonces, a dicho segmento se le llama diámetro.

Por lo tanto, un diámetro de una circunferencia

es un segmento que une dos puntos de la circunferencia

y pasa por su centro.

También se llama diámetro, a la longitud de este segmento,

y a los puntos que están sobre un mismo diámetro

se les llama, puntos diametralmente opuestos.

Observa, que si denotamos por d al diámetro de la circunferencia,

se tiene que el diámetro son dos radios,

luego, se tiene que, d = 2 . r

Incidimos de nuevo en el hecho

de que un diámetro de una circunferencia

une a dos puntos

y pasa por el centro de la circunferencia.

En general, al segmento que pasa dos puntos cercanos de la circunferencia,

pudiendo o no pasar, por su centro, se le llama cuerda.

Entonces, un diámetro es una cuerda

que pasa por el centro de la circunferencia.

Así recuerda, que una circunferencia es la línea anterior

cuyos puntos equidistan, o sea, están a la misma distancia

de un punto que llamamos centro.

La circunferencia es toda la línea,

la mitad de la circunferencia, esto es,

una parte de la circunferencia

que une dos puntos diametralmente opuestos

se llama semicircunferencia.

Ahí en pantalla, tenemos,

una de las muchas semicircunferentes

que podemos formar en una circunferencia.

Y finalmente, un arco de una circunferencia

es una parte de la circunferencia

que une a dos puntos cualesquiera de esta.

Ahí, en pantalla tenemos un arco.

Observa que un arco viene determinado por un ángulo,

el que tiene lados su radio correspondientes de la circunferencia

Observa, que toda la circunferencia corresponde a un ángulo.

¿Cuántos grados tiene la circunferencia?

Pues esto lo sabes, son 360

Y una semicircunferencia,

al ser la mitad de una circunferencia

corresponde a un arco de ángulo 180

Ahora pasamos a hablar del círculo.

Así como la circunferencia es la línea

se tiene, qué un circulo,

es una circunferencia junto con su interior.

Ahí tendremos un círculo.

Entonces, se define un semicírculo,

como la mitad de un círculo;

ahí tendremos un semicírculo.

Ahora veamos que es un segmento circular.

Pues para un segmento circular

dibujamos una cuerda de la circunferencia,

y entonces, el segmento circular

es una de las zonas delimitadas por este segmento

y la circunferencia.

Por ejemplo, esta zona.

Entonces, un segmento circular

es una de las zonas delimitadas por la circunferencia

y una cuerda de esta.

Finalmente, para un sector circular

consideramos dos radios de la circunferencia,

y entonces, el sector circular

es una de las zonas del círculo, delimitada por estos dos radios.

Por ejemplo, esta.

Así, un sector circular

es, una de las zonas delimitadas por dos radios de la circunferencia.

Observa que aquí, también se forma un ángulo.

Entonces, si este ángulo es alfa

diremos que alfa es el ángulo de este sector circular

o que este sector circular es de ángulo alfa.

Finalmente, supongamos que tenemos dos circunferencias concéntricas;

esto es, circunferencias que tienen el mismo centro.

Entonces, la zona que está entre ambas se denomina

corona circular.

Así se tiene, que una corona circular,

es la zona delimitada por dos circunferencias concéntricas.

Esto es, dos circunferencias con el mismo centro.

Y con esto, terminamos este vídeo

de introducción de la circunferencia y sus elementos.

Taller de matemáticas con Santi García Cremades

con quién para cerrar este taller

vamos a hablar del famoso número;

que cuando yo estudiaba era: 3'1416

y ahora es, 3'14-15-92 y así hasta el infinito

y más allá ¿no?

-Está complicado.

-A ver si lo he entendido bien.

El número es la relación que hay entre

la longitud de una circunferencia y su diámetro.

-Exactamente, esa es la definición del número.

Yo estoy contento hoy, porque vamos a hablar de...

como decía Sabina nos sobran los motivos para hablar del número .

Lo primero es la definición que dice:

la longitud de una circunferencia dividida por su diámetro,

es decir, cualquier círculo da igual lo grande que sea.

-Es siempre la misma ¿no?

-Y siempre va a ser la división, entre, longitud

y, diámetro

siempre va a ser la misma y va a ser el número.

Pero esto siempre es aproximado,

porque tú dices, pero...

entonces, yo cojo un círculo, el que sea,

pues yo cojo la cuerda,

le doy la vuelta al círculo,

intento medirlo,

lo veo aquí en pantalla,

cojo la cuerda y lo mido

y la longitud será la que sea.

Es decir, 4'5 aproximadamente al centímetro

e incluso al milímetro.

Pero dices, yo tengo la cantidad esta,

y el diámetro es lo que yo abra el compás.

Puede ser 1 , para facilitarlo todo, y ya está,

y haber que número me da esto.

Pues ya vieron los griegos, qué, la longitud esa de a cuerda,

no se ponían de acuerdo.

Uno decía, pues y me he aproximado hasta esta medida;

y el otro decía, pues yo, un poquito más;

y otro decía, por ejemplo, el caso clásico del número

que es 3'14, entendemos que 16

y lo redondeamos ahí a la diezmilésima,

pues había gente que decía que era 3'2

Otros decían que era 3'1

Otros decían, no, es 3 y le has calculado mal.

-A lo mejor podían hacer una prueba

cogiendo el círculo,

como una rueda de un carro

y ver lo que se desplazaba.

-Es otra forma de verlo.

Decía, pues claro, una vuelta de la rueda

justamente, deja el camino del número .

Es decir, del perímetro.

Y el perímetro, ya sabemos que la longitud de esa cuerda,

ya sabemos que es, 2 r

Si r es 1; es 2 ;

Si r es 2, es 4 y así.

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

-Esto que estás haciendo yo no lo entiendo.

Así que, explíquemelo otra vez.

Entonces, la definición del número vamos a escribirla.

La longitud entre el diámetro.

La longitud lo puedes ver con una rueda,

pero siempre de manera aproximada.

Pero después demostraron que la longitud de una circunferencia

es 2 r.

Eso lo sabemos de memoria, pero está demostrado.

2 r.

Esa es la longitud

Y el diámetro es 2 veces el radio;

O sea, 2 r

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

Entonces, ya está demostrado que esta viene de la definición.

Pero tiene muchas propiedades

y esto es lo interesante.

La primera de ellas,

es la irracionalidad del número .

Es decir, es un número que tiene decimales

y nunca se repite ninguno,

y es por eso, que no se ponían de acuerdo los griegos.

Ellos creían mucho en los números,

tenían un poder divino los números,

y decían, pues tiene que ser ó 3, ó 3'14 ó 3'1416

No se ponían de acuerdo.

Poco después se descubrió,

que es un número irracional.

Fue de los primeros números irracionales que se descubrió

que no terminaba nunca la aproximación.

-Y qué significación podía tener eso.

Eso significaba,

que era un número diferente al que conocíamos.

Y era un número que escapaba de nuestra razón;

por eso se llama irracionales.

Y otra propiedad que me gusta mucho es que es un número transcendente.

Es un poco complejo de explicar,

pero vamos a identificarlo con las ecuaciones.

-¡Madre mía!

-Sí, vamos a temblar un poco.

Yo si pongo x + 1 = 0

-Esta es fácil.

Vamos a hacer una de segundo grado.

SIGUE LOS PASOS QUE APARECEN EN PANTALLA.

Hay dos soluciones que es la positiva y la negativa de raíz de dos.

Esto, hasta ahí el 2 está bien y ese 2 es irracional

Es como el número,

pero este no es transcendente.

Porque tiene una expresión en una ecuación.

Se puede expresar como una ecuación.

Pero sin embargo, el número no hay ninguna ecuación como esta,

con números enteros

que la solución sea el número, por eso se llama intranscendente.

-Yo he leído para prepararme esta entrevista

que está relacionado con la probabilidad en número .

-Está relacionado con todo lo que tenga curvas.

Hay una cosa que se descubrió hace poco, y era en los ríos,

Voy a dibujar un río

que tiene su nacimiento y su desembocadura,

voy a medir la longitud de ese río.

La longitud de ese río será, L

Y ahora voy a hacer la división de una línea recta

del punto inicial y del punto final,

en línea recta.

-Una línea imaginaria recta.

-Con el GPS ahora es muy fácil.

En un descubrimiento muy reciente,

vieron que cogiendo muchos ríos con datos

vieron que esa división...

Relacionada...

-Algo al número¿no?

y eso ¿por qué?

-Porque aparece en todo lo que tenga curvas,

por ejemplo las ondas de radio no existiría sin el número ,

todo lo que tenga algo curvo tiene el número

Esto también se vio hace poco con la física cuántica.

La física cuántica responde a algo curvo,

porque habla también de oscilaciones.

Una oscilación no va con picos, sino que va de forma suavizada

y como se forma curva, ahí está siempre en número.

-¿Para qué has traído las habichuelas?

-Vamos a hablar de como podemos aproximar el número

a través de nuestro mundo real.

-Esto es un círculo inscrito en un cuadrado ¿no?

-Aquí tenemos un círculo,

vamos a poner para facilitar que radio 1, la unidad.

Con un compás lo abro de 1

y dibujo el círculo y el cuadrado.

El cuadrado va a ser de lado 2;

porque es 1 + 1

Yo voy a poner una moneda aquí.

La moneda yo, si la lanzo, sabemos todos

que hay una probabilidad 1/2 de salir cara o cruz.

-Que salga 50 % cada una, si la moneda es perfecta.

Es una aproximación.

-A veces tiras 1.000 veces la moneda para que te dé exactamente eso.

-La probabilidad habla en el infinito.

En el infinito, la mitad saldría cara y la mitad saldría cruz.

Y uno cada doscientos mil sale canto,

pero el canto no cuenta.

Esto es una curiosidad.

Pero vamos a ver que pasaría con el cuadrado y el círculo,

por eso me he traído las habichuelas.

Vamos a sacar el número

igual que hacemos con el lanzamiento de la moneda,

vamos a calcularlo lanzando habichuelas.

-Unas pocas porque si no hay que contar mucho.

-Vamos a contar las que caen.

Las voy a lanzar aleatoriamente y sin mirar

y a ver cuántas caen en el círculo

y cuántas en el cuadrado.

Vamos a hacer experimental físicamente.

Aquí poquitas.

Las que salen fuera del cuadrado no las cuento.

Quito ésta, ésta y ésta también está un poco fuera.

Vamos a contar.

Yo digo, las que han caído entre las esquinas

son solamente ésta y ésta también. -Una y dos.

Dos en las esquinas,

y dentro del círculo han caído una, dos, tres, una, dos, tres

y una, dos, tres. O sea, nueve.

Entonces, esto que tiene que ver con el número

cómo puedo calcular el número con esto,

bueno, pues estudiando las áreas.

El área del cuadrado y el área del círculo la sabemos muy bien.

Ya me olvido de las habichuelas.

El área del círculo ya la conocemos también.

El perímetro es 2 r;

y el área es: r2

r2 como tengo r2

Pero r2, he dicho, el radio era 1

De este me puedo olvidar.

El área del círculo era.

-Porque era un radio de 1

-Y el área del cuadrado es... - Eran2 x 2 ¿no?

-Claro.

-Tengo el lado por otro lado, o sea, 2 x 2 = 4

Esto al final sería pi cuartos

y esto es lo que se espera que ocurra

Pero la realidad no es lo que se espera a veces.

Hemos dicho que ha habido nueve en el círculo

y dos en las esquinas.

Entonces, vamos a hacer la aproximación.

SIGUE EL EJEMPLO EN LA PANTALLA.

Digo, tengo el área del círculo entre el área del cuadrado;

el área del círculo era,

el área del cuadrado era 4

Y esto es aproximadamente lo que ocurre a tiempo finito.

Por ejemplo, número que han caído en el círculo

y número de veces que han caído en el cuadrado.

Ya las hemos contado: en el círculo han caído 9

y en el cuadrado han caído: 2 de las esquinas,

+ 9 del círculo.

2 y 9 = 11

Yo digo, 9 : 11

Ahora como aproximo el número

Me voy a la pantalla.

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA

Este método se llama de Montecarlo

porque es algo que se hace por integración,

como la carrera de Montecarlo

que dan vueltas en un circuito muy pequeño muchas veces.

El método de Montecarlo nos diría, que pi es aproximadamente:

4 x 9 : 11

4 x 9 = 36 : 11

3'16, pues por ahí

Esta ha sido muy floja

porque hemos hecho solamente 11 habichuelas.

Normalmente, el método de Montecarlo funciona con 10.000 o más

-Mientras más, más se aproxima como lo de la tirada de la moneda.

-Y lo de la moneda si lo hiciéramos infinitas veces

ocurría exactamente el número,

como no tenemos tiempos infinitos.

-Claro, somos pobres seres humanos.

Bueno ha sido un verdadero placer, Santi.

-Gracias, Alva.

Hola a todos.

En este vídeo veremos como tener el perímetro

y el área de una circunferencia.

Empezamos con el perímetro;

ya sabes que es la longitud de una circunferencia.

Una propiedad importantísima es qué,

cojas la circunferencia que cojas

siempre al dividir su perímetro o longitud de entre su diámetro

obtienes la misma cantidad.

¿Qué es esta cantidad?

el número

Como sabemos el número es un número racional

puede expresarse como una fracción

que tiene infinitas cifras decimales.

Pero nosotros solemos tomar, como 3'14

Tomamos una aproximación de

Así su consideramos una circunferencia de radio r

cuyo perímetro o longitud es L

Entonces el diámetro d = 2r

SIGUE EL EJEMPLO EN LA PANTALLA

Esta es la fórmula del perímetro

o longitud de una circunferencia.

Recuerda, la longitud de una circunferencia es 2 r

En cuanto al área de una circunferencia,

pues es la superficie de esta junto con su interior.

Ya sabes que esto es el círculo.

LA FORMULA APARECE EN LA PANTALLA.

Recuerda estas fórmulas,

de hecho, no es necesario insistir mucho en ello,

te darás cuenta que es algo de cultura general,

saber cual es la longitud de una circunferencia es ...

Así, presentemos ya un ejemplo

consideramos la circunferencia que aparece en pantalla

que como ves, tiene radio 3 cm.

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA

Que es muy común en ejercicios

donde se calcula la longitud de una circunferencia

pues dejar el resultado así.

Como el radio viene en centímetros, esto serían centímetros,

pero nosotros vamos a obtener un valor aproximado.

Entonces, pues vamos a escribir en lugar de,

pues una aproximación, 3'14

SIGUE EL EJEMPLO EN LA PANTALLA.

Como el radio estaba en centímetros, luego esto son centímetros.

Así obtenernos que la longitud de la circunferencia

es 18,84 centímetros.

Ahora para el área.

SIGUE EL EJEMPLO EN LA PANTALLA.

Es muy habitual también

cuando se escribe el área de una circunferencia,

pues dejarlo así.

Como el radio venía en centímetros,

ya sabes, estos son centímetros al cuadrado.

pero nosotros vamos a obtener una aproximación,

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA.

Como el radio venía en centímetros, esto son centímetros al cuadrado.

Esta sería el área de la circunferencia anterior.

Pues con esto terminamos este vídeo sobre perímetros

y área de circunferencia.

Hola a todos.

En este vídeo veremos como tener longitudes y áreas

de figuras relacionadas con la circunferencia.

Como podrás observar

siempre que podamos, vamos a evitar, tener que memorizar fórmulas.

En primer lugar, veamos como calcular la longitud de un arco

de una circunferencia.

Para ello se tiene la propiedad de que la longitud de un arco

de circunferencia

es directamente proporcional

al ángulo correspondiente.

Dado que conocemos la longitud de la circunferencia entera

que corresponde a 360

mediante regla de tres simple directa

podremos obtener la longitud del arco.

Presentamos un ejemplo.

Calculemos la longitud de un arco de ángulo 60

de una circunferencia de radio 4 m.

Entonces, tenemos que el radio de la circunferencia r - 4 m

Y en primer lugar calculemos la longitud de la circunferencia

que denotaremos por l

SIGUE LOS PASOS EN LA PANTALLA.

Como el radio viene en metros, esto serían metros.

Ahora por proporcionalidad tenemos la regla de tres simple directa,

toda la circunferencia que son 360

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA.

Tal cual aparecen los datos de una regla de tres simple directa.

Como la longitud de la circunferencia viene en metros

pues esto serían metros.

Ahora pasamos a ver el área de un sector circular

y de una corona circular.

En primer lugar para un sector circular.

El cálculo del área es similar

a como hemos calculado la longitud de un arco,

porque se tiene una propiedad similar,

que dice, que área de un sector circular

es directamente proporcional al ángulo correspondiente.

Dado que conocemos el área de la circunferencia entera,

mediante regla de tres simple directa

podremos obtener el área del sector circular.

Pues presentamos un ejemplo

calculemos el área de un sector circular

correspondiente a un ángulo de 135

de una circunferencia de radio 5 cm

En primer lugar tenemos que el radio de la circunferencia r = 5 cm

Calculemos el área de la circunferencia.

SIGUE LOS PASOS EN PANTALLA.

El radio viene en centímetros

luego el área vendrá en centímertros al cuadrado.

Ya tenemos el área de toda la circunferencia

y para el sector circular, por proporcionalidad

tendremos una regla de tres simple directa.

SIGUE LOS PASOS EN PANTALLA.

Como el área de la circunferencia viene en cm2,

pues esto también serían cm2

Finalmente, veamos como obtener el área de una corona circular.

Como sabes, una corona circular corresponde a la zona

entre dos circunferencias concéntricas.

Esto es, dos circunferencias con el mismo centro.

Observa que la corona circular corresponde al círculo mayor

al que le hemos quitado el círculo menor, claramente.

Luego el área de la corona circular será

el área de la circunferencia exterior

menos el área de la circunferencia interior.

No vamos a presentar ninguna fórmula, en cada caso razonaremos.

Así presentamos un ejemplo.

Calculamos el área de una corona circular

formada por dos circunferencias de radio 1 dm y 4 cm.

Aquí tenemos el dibujo.

Vamos a llamar R mayúscula y r minúscula

a los radios de la circunferencia

R, mayúscula, el de la circunferencia exterior,

que sería = 1dm

pero como el otro radio viene dado en centímetros,

pues vamos a pasar este radio a centímetros.

Esto sería 10 cm.

Y ahora, r minúscula, es el radio de la circunferencia interior,

pues vale 4 cm.

Entonces, la corona circular es el círculo más grande

al que le hemos quitado el circulo correspondiente

a la circunferencia interior.

Luego, el área de la corona circular será la resta de estas áreas.

Vamos a calcular estas áreas.

En primer lugar, el área de la circunferencia exterior

SIGUE LOS PASOS DE LA PANTALLA.

Y como el radio está en centímetros, ambos radios,

el particular R mayúscula, que es el que ahora me interesa

pues esto sería, cm2

Ahora calculamos el área de la circunferencia interior

Vamos a denotar este área por a minúscula.

SIGUE EL EJEMPLO DE LA PANTALLA.

Como el radio, r minúscula, venía en centímetros,

pues esto serían cm2

Como indicábamos anteriormente,

el A de la corona circular sería la resta de las áreas.

SIGUE EL DESARROLLO DE LA PANTALLA

Como ambas áreas están en cm2, puesto serían cm2

Y con esto terminamos este vídeo sobre longitudes y áreas

de figuras relacionadas con la circunferencia.

Hasta pronto.

Bueno, qué tal la clase de hoy.

¿Os acordabais de calcular los perímetros y áreas

de las figuras regulares?

Puede que sí, puede que no, bueno,

tampoco pasa nada.

Ya sabéis que lo más importante y lo que esperamos

es que estos vídeos os sirvan para repasar.

Esa es la idea de la iniciativa

Aprendemos en Casa.

Y claro, no puedo dejar de daros las gracias

por ese grandísimo esfuerzo que estáis haciendo,

y además, de manera autónoma,

para repasar los contenidos de matemáticas.

Está claro que no es lo miso que estar en clase,

pero hay que mantener el cerebro activo.

Y ya sabéis, que si alguno de los vídeos que habéis visto hoy

o cualquier otro día, no lo habéis entendido bien

o no os ha quedado claro

podéis volver a verlos entero las veces que queráis,

en Radiotelevisión española a la carta.

Las veces que queráis

y por supuesto, vuestros profesores y profesoras

os lo explicarán más despacio cuando volváis a clase.

La idea de esto es repasar contenido que ya habéis visto.

Bueno, pues seguimos hablando de geometría,

porque este es un tema que da para mucho.

Habéis visto lo importante que es mirar bien una figura

para dividirla en figuras más sencillas

O utilizar el espacio negativo.

¿Os acordáis?

Esto es super-importante para calcular

el área de figuras como por ejemplo, la corona circular.

Lo que viene siendo una rosquilla, una rueda, ya sabéis...

Luego volveremos hablar del cálculo de áreas,

porque ahora ha llegado el momento de hablar

de uno de los números irracionales más importante de las matemáticas.

El número

¿Qué es esto de?

Y no me refiero a algo que vale 3'14 para unos

ó 3'16 para otros.

Me refiere a ver qué esto de dónde sale.

¿Te lo has planteado alguna vez?

¿No?

Pero si hasta tiene un día en el calendario.

Fíjate si será importante.

El 14 de marzo es el día de

Y esto es, porque si ponemos la fecha en notación anglosajona,

que ponen primero el mes y después el día

nos queda 3/14

es la relación que hay

entre la longitud de una circunferencia

y su diámetro en la geometría de Euclides,

y esta relación es constante.

Vamos, que se cumple en todas las circunferencias del mundo.

Y esto ¿qué quiere decir?

Quiere decir que si tengo una cuerda

y con ella he formado una circunferencia,

la corto, la estiro y mido cual es su longitud,

cuando divido esa longitud

entre el diámetro de la circunferencia

siempre me da lo mismo.

, tachan.

Otro temazo con el número

es que como número irracional que es,

no se puede expresar como una fracción.

Tiene infinitos decimales.

A día de hoy se conocen 13'3 billones

si, si, billones con b

Es que no me da la cabeza ni para imaginármelo escrito entero.

Pues si eso nos pasa a nosotros que somos matemaniacos

y matemaniacas del siglo XXI

Imaginaos a nuestros antepasados.

¿cómo manejaban esto?

Vamos a verlo por encima.

El número ha fascinado a la humanidad

a lo largo de la historia.

Prácticamente en cualquier época han existido matemáticos

que han intentado encontrar algún algoritmo

que les proporcionara una mejor aproximación del número

Así, de entrada con conocer unos cuantos decimales

era más que suficiente, para,

utilizarlo en los cálculos que utilizaban ellos.

Pero el reto para aquéllos matemáticos, era otro.

El reto era conocer

el mayor número posible de decimales de

Pero en 1761, Johann Heinrich Lambert

dijo que el número era irracional.

Así que ya podemos estar tranquilos.

No vamos a poder conocer nunca

todos los decimales de

En todo este tiempo se han uso de distintas aproximaciones de

El valor más antiguo que se conoce de es, es 3'1605

Aparece en el 1900 a.c. en el papiro del Rhind

Aquímedes fue el primero que calculó el valor de

por aproximaciones sucesivas.

Una de sus aproximaciones era esta:

Hubo un momento en la historia

en el que también se produjo un pequeño retroceso

en las aproximaciones de,

al aproximarlo al número 3

Esto se hizo por motivos religiosos

al comienzo de la Era Cristiana,

y la razón es,

la importancia que tiene el número 3 en la religión cristiana.

En el año 263 d.c. el matemático chico Liu Hui

calculó el valor de como 3'14159

En el año 1400 el matemático hindú, Madhava

calculó su valor como 3,14159265359

pero es a partir del siglo XVII

cuando los algoritmos que se utilizan para calcular los decimales de

son capaces de encontrar muchísimas más posiciones decimales.

A día de hoy, se siguen buscando más.

Y es que, al igual que el número la curiosidad humana es infinita.

Y tener esa curiosidad es muy positivo,

pero ahora nos toca pensar en el espacio negativo.

¿Recordáis lo que era el espacio negativo?

Supongamos que tenemos que pintar un O gigante en una pared.

El radio externo de nuestra O es 1'5 m.

y el radio interno es 1 m.

El pintor nos va a cobrar por el área pintada en la pared

a razón de 20 euros el m2

¿Cuánto me a a costar pintar la O?

Ya habéis visto como calculamos el área de una corona circular.

Utilizamos el espacio negativo para hace lo siguiente.

Rellenamos el hueco de nuestra corona

y tenemos un círculo grande de 1'5 metros de radio.

Su área es...

Calculamos ahora el área del círculo pequeño,

que es justo lo que hemos rellenado.

Ese es nuestro espacio negativo en la O

Ahora, si le quitamos al área del círculo grande

el área del círculo pequeño, nuestro espacio negativo,

lo que nos queda finalmente, es el área de nuestra O

Así que, nos va a cobrar...

por pintarnos nuestra O

Y menos mal, porque si no llegamos a pasar de los 4 m2

por poco que sea, igual nos cobra otros 20 euros más.

Ahora que hemos recordado, como utilizar el espacio negativo

ha llegado el momento, de nuestro reto.

El reto es geométrico claro.

Y va de calcular áreas.

Os recomiendo que utilicéis el espacio negativo,

porque como os pongáis a utilizar las fórmulas.

El reto es el siguiente:

¿Cuál es el área de la parte rosa?

¿Y sabéis como hacerlo?

¿Os habéis puesto las gafas de visión negativa?

¿O necesitáis un pista?

Si todavía no tienes tus gafas de visión negativa

o necesitas una pista,

esta vez, no te tapes los oídos, porque la pista, es visual.

Rellenad los huecos de las figuras,

fijaos en el espacio negativo

y haber que pasa.

Ahí lo dejo.

Pues ya está, se ha terminado la pista

ya podéis decirle a todos vuestros sentidos que vuelvan conmigo.

Como siempre digo, no es un reto difícil

solo hay que pensar un poco.

Igual en casa lo pueden pensar con vosotros y vosotras.

También podéis proponérselo a otro miembro de la familia

a ver cómo lo resuelve,

igual os sorprende.

Hasta aquí la sesión de hoy.

Qué rápido ¿no?

Lo habéis hecho estupendo.

Muchas gracias por estar aquí

y mantener el interés en las matemáticas.

No olvidéis que las matemáticas nos rodean,

no les perdáis la pista y estad muy pendientes.

Mañana tenéis más retos de otras asignaturas.

Diversión garantizada.

Mucho ánimo y cuidaos mucho.

Hasta la próxima.

Subtitulado por: María Sánchez Grano de Oro

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Aprendemos en casa - De 12 a 14 años - Matemáticas

11 may 2020

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