Aprendemos en casa La 2

Aprendemos en casa

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Para todos los públicos Aprendemos en casa - De 12 a 14 años - Matemáticas - ver ahora
Transcripción completa

(Música)

Muy buenas, matemaníacos y matemaníacas.

Soy Luis, vuestro profesor de matemáticas.

Os doy la bienvenida a la hora de pensar en matemáticas

para los que tenéis entre 12 y 14 años.

Bueno, ¿qué tal vais? ¿Cómo ha ido esta semana?

Lo estáis haciendo superbien. Además, ya queda menos, ¿no?

Hoy seguimos con la geometría, ¿os he dicho ya que me encanta?

En los vídeos de hoy vais a ver cómo calcular el área de figuras

como el triángulo, el trapecio, el rombo o el pentágono.

También vais a repasar los ángulos y ver cómo se calcula

la suma de los ángulos de una figura.

Hay muchas cosas a nuestro alrededor que son problemas de geometría

y utilizan las cosas que vais a ver hoy.

En algo tan sencillo como clavar un clavo

o apretar un tornillo debemos tener en cuenta

el ángulo de inclinación y de rotación,

porque si no podemos terminar poniéndolo torcido

o incluso la podemos liar.

Bueno, no me enrollo más que empezamos.

Ya sabéis que justo antes de terminar,

aquí me tendréis de nuevo.

Os hablaré de una profesora de matemáticas

muy innovadora

y os propondré un reto para pensar un poco,

que sé que os gusta.

Nos vemos.

(Música)

"Hola a todos.

En este vídeo calcularemos perímetros y áreas

de los cuadriláteros más sencillos,

que son los cuadrados y los rectángulos.

En primer lugar, ya sabes que, en general...

Así también calcularemos el perímetro de los cuadrados

y rectángulos.

En cuanto al área, también has visto anteriormente

que si tenemos un rectángulo cuya base mide b

y altura mide h,

aquí tenemos un rectángulo con dichas longitudes de sus lados;

entonces, se tiene que el área es base por altura.

En nuestro caso, si denotamos por A el área de este rectángulo,

entonces se entiende que A es igual a base, que es B,

por altura, h.

Como caso particular,

si consideramos un cuadrado de lado l,

como el que aparece en pantalla, pues es un rectángulo

donde todos sus lados miden lo mismo, l.

Entonces, su área la denotamos también por A.

Sería, base por altura.

En este caso, l por l, que es l al cuadrado.

Presentemos algunos ejemplos de cálculo de perímetros

y áreas de rectángulos y cuadrados.

En el primer ejemplo, calculemos el área y el perímetro

del rectángulo que aparece en pantalla.

Observa que nos están dando la base y la altura,

por tanto, va a ser muy sencillo.

Observa también que las unidades de medida

de la base y la altura es la misma, centímetros,

o sea que está todo perfecto.

Tenemos, en primer lugar, que el área

es base por altura.

7x3, que te queda, 21.

Como los dos lados vienen en centímetros,

estos serían centímetros al cuadrado.

Ahora, para el perímetro, ya sabes que es la suma

de las longitudes de los lados.

Tenemos dos lados,

pero los otros dos miden lo mismo con respecto a sus opuestos.

Este mide tres centímetros

y este de aquí mide siete centímetros.

Por lo tanto, esto sería...

O, si quieres, 2x7+3x3, da igual.

Esto te queda... 3+7+3+7, pues 20.

20.

Y, ahora, la unidad de medida común de todos los lados

que es centímetros.

Calculemos ahora el área y el perímetro

del cuadrado que aparece en pantalla.

Es un cuadrado de lado cuatro.

Bueno, ya sabes que un cuadrado

es un caso particular de un rectángulo

donde todos los lados miden lo mismo.

Entonces, el área sería base por altura.

Si quieres, en el caso del cuadrado, que es lo mismo, lado al cuadrado,

lado por lado.

Entonces, aquí tenemos que el lado mide cuatro metros,

luego, cuatro al cuadrado.

Esto te queda 4x4 que es 16.

16.

Como el lado viene en metros, sería metros al cuadrado.

En cuanto al perímetro,

la suma de las longitudes de todos los lados.

Tenemos cuatro lados y cada uno de ellos,

al estar en un cuadrado, pues mide cuatro.

Pues sería 4+4+4+4, directamente,

cuatro veces cuatro.

4x4 te queda 16.

Entonces, como el lado que no está viene en metros, serían metros.

Hemos obtenido el mismo resultado en este caso

para el área que para el perímetro.

El área ya sabes que viene en metros cuadrados.

El perímetro, en metros.

Y, ahora, calculemos también el perímetro y el área

de un cuadrado pero, en este caso,

en el cuadrado que nos dan tenemos lo que mide la diagonal

de este cuadrado.

Claro, nosotros para calcular el área y el perímetro,

necesitamos saber cuánto mide cada uno de los lados del cuadrado.

Todos miden lo mismo.

Entonces, aquí vamos a tener que obtener

en primer lugar, cuál es la longitud del lado.

Esto va a ser sencillo.

Observa que, si cortamos por la diagonal,

obtenemos dos triángulos rectángulos,

uno a la parte izquierda y otro a la parte derecha.

En los triángulos rectángulos podemos utilizar

el Teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, vamos a quedarnos con el triángulo de la derecha.

Tenemos algo así.

Entonces, sabemos que esto es la diagonal,

que coincide con la hipotenusa de este triángulo rectángulo.

Y, claro, como lo anterior era un cuadrado,

tenemos que todos los lados miden lo mismo.

Entonces, si llamamos a esto x, esto también va a medir x.

Si vamos al triángulo rectángulo, esto es x y esto es x.

Entonces, aplicamos el Teorema de Pitágoras.

Tenemos que hipotenusa al cuadrado, o sea, cinco al cuadrado,

sería igual a cateto al cuadrado, x al cuadrado,

más cateto al cuadrado, x al cuadrado.

Entonces, aquí obtenemos cinco al cuadrado, 5x5 es 25.

Sería igual a x al cuadrado más x al cuadrado,

2x al cuadrado.

Entonces, aquí obtenemos 25, que está en la parte izquierda,

el dos en la parte derecha multiplicando la x al cuadrado,

pasa dividiendo.

Vamos a copiarlo al revés.

x al cuadrado sería igual y 25 dividido entre dos,

si lo haces, te queda 12,5.

Entonces, el cuadrado pasa a la parte derecha

como una raíz cuadrada.

Esto, si lo haces a mano o con calculadora

te queda, redondeando a la segunda cifra decimal, 3,54.

Entonces, como la longitud de la hipotenusa

venía en kilómetros, esto también vendría en kilómetros.

Entonces, aquí obtenemos cuál es la longitud de los lados,

3,54 kilómetros.

Si quieres, podemos borrar la x de aquí.

Esto de la parte izquierda mediría lo mismo.

Como estamos ante un cuadrado, todos los lados miden lo mismo.

Entonces, tenemos, en primer lugar, que el área que denotamos por A,

sería en un cuadrado, lado al cuadrado.

3,54 al cuadrado,

que sería 3,54x3,54.

Esto, si lo haces te queda 12,53

redondeando a la segunda cifra decimal.

Como la longitud del lado viene en kilómetros,

esto sería kilómetros al cuadrado.

Ahora, en cuanto al perímetro,

ya sabes que es la suma de las longitudes de los lados,

pero estamos ante un cuadrado, todos los lados miden lo mismo.

En este caso, 3,54 kilómetros.

El perímetro sería...

Esto, si lo haces, te queda 14,16.

Como la longitud de cada uno de los lados viene en kilómetros,

esto serían kilómetros.

Ahí tenemos el área y el perímetro de este cuadrado.

Y, ahora, calculemos el perímetro y el área

del rectángulo que aparece en pantalla.

Pues vamos a empezar por el área.

El área ya sabes que es base por altura.

Pero observa que la base no la tenemos, vamos a llamarle x.

¿Cómo calculamos la base?

Observa que la diagonal de nuevo corta en este caso

el rectángulo en dos triángulos iguales.

Esos dos triángulos son triángulos rectángulos,

luego, vamos a poder utilizar el Teorema de Pitágoras.

Pues así vamos a trabajar.

Nos vamos a quedar por comodidad con el triángulo de la derecha,

es como normalmente nosotros escribimos los triángulos,

con la base abajo.

Entonces, cortando por la diagonal,

tenemos este triángulo rectángulo

donde esto de aquí mide tres hectómetros,

esto de aquí un kilómetro.

Fíjate que tenemos distinta unidad de medida.

Ahora, abajo tenemos x.

Entonces, vamos a pasar los kilómetros a hectómetros

o hectómetros a kilómetros.

Yo te aconsejo que pases a hectómetros,

porque así no trabajas con números decimales.

Mira, 1 kilómetro son 10 hectómetros.

Después, si te apetece, al final pasas todo a kilómetros.

Bueno, entonces, aquí tenemos un triángulo rectángulo

porque este es un ángulo recto.

Entonces, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

Tenemos que la hipotenusa al cuadrado,

en este caso, diez al cuadrado, sería igual a...

Cateto al cuadrado, x al cuadrado, más cateto al cuadrado,

tres al cuadrado.

Aquí tenemos 10 al cuadrado, 10x10 que es 100

sería igual a x al cuadrado más 3 al cuadrado,

3x3, que es 9.

Entonces, en la parte izquierda tenemos 100.

Ahora, el nueve que está sumando en la parte derecha

pasa a la parte izquierda restando.

Si quieres, vamos a escribirlo así, me siento más cómodo.

Permíteme hacerlo.

Y, bueno, cuadrado pasa a la otra parte como la raíz x.

Nos quedaría más menos, pero como x es la longitud de un lado,

va a ser positivo, luego, solo +.

Ponemos ahí +.

Raíz de 91...

Y raíz de 91, bien a mano o con la calculadora,

pues te queda redondeando a la segunda cifra decimal 9,54.

Entonces, estamos trabajando todo en hectómetros.

Pues esto sería hectómetros, la longitud de un lado.

Bueno, ya hemos obtenido lo que vale la base,

9,54 hectómetros.

Entonces, esto va a ser muy fácil ahora.

Entonces, en primer lugar, el área. Ya sabes que es base por altura.

Bueno, no lo he dicho, pero sepan que la base y la altura

están en la misma unidad de longitud,

entonces, se puede hacer directamente,

sino tendríamos que pasar todo a una misma unidad.

Y como los dos lados están en hectómetros,

esto serían hectómetros al cuadrado.

Entonces, podremos pasar a kilómetros al cuadrado

pero nos va a quedar 0,2862.

Un resultado pequeño, pues mejor lo dejamos así.

Entonces, ahora para el perímetro,

ya sabes que es la suma de las longitudes de los lados.

Tenemos dos lados,

el de más abajo y el de más arriba, que miden 9,54,

y los dos lados laterales miden 3.

La suma de las longitudes de los lados, si agrupamos,

sería...

Estamos sumando las longitudes de los lados horizontales más...

Sumamos longitudes de los lados verticales.

Entonces, esto nos queda...

2x9,54 es igual a 19,08.

Más 2x3 que te queda 6.

Y 19,08+6

te queda 25,08.

Esto es perímetro,

todos los lados vienen expresados en hectómetros,

pues, hectómetros.

Ya sabes que si quisieras pasar esto a kilómetros,

divides por diez esta cantidad,

te quedaría 2,508 pero nosotros vamos a dejar así.

Y con esto terminamos este vídeo

sobre cálculo de perímetros y áreas de rectángulos y cuadrados.

Hasta pronto."

(Música)

"Continuamos deduciendo la fórmula de las áreas

de distintas figuras planas.

Ahora voy a tratar de exponeros

cómo calcular el área de un triángulo.

Antes de nada, recordemos,

un triángulo es una figura plana que está compuesta por tres lados.

Estos tres lados forman tres vértices

y, por tanto, tres ángulos.

Si llamamos B a la base del triángulo

y h a su altura, es decir,

a la distancia entre la base y el vértice opuesto,

vamos a tratar de deducir con estos datos

cómo calcular el área de un triángulo.

A continuación, yo voy a duplicar esta figura.

Si la duplico, la giro y la encajo sobre la anterior

vemos todos que la nueva figura formada

se trata de un paralelogramo.

Recordamos la fórmula del área y, por tanto,

podemos concretar que el área de un triángulo

es la mitad del área del paralelogramo,

es decir, la base por la altura dividida entre dos.

¿Cómo podemos averiguar el área de un trapecio?

Recordemos que el trapecio tiene cuatro lados

de los cuales dos son paralelos

y dos no son paralelos.

Denominamos B a la base,

B es la base mayor, h sigue siendo nuestra altura

y, ahora, b es la base menor.

¿Qué pasaría ahora si duplicásemos nuestro trapecio inicial,

lo girásemos

y lo uniésemos al anterior?

Veríamos de nuevo la formación de una figura que ya conocemos,

el paralelogramo,

cuya base será la suma de las bases mayor y menor

de nuestro trapecio

y la altura, la misma que la del trapecio.

Descubrimos entonces que el área de nuestros dos trapecios

es el área de un paralelogramo y, por tanto, tendremos que dividir

el área del paralelogramo obtenido entre dos

para llegar hasta el nuevo área de nuestro trapecio.

Ahí queda la fórmula del área del trapecio."

(Música)

"Hola a todos,

en este vídeo veremos cómo calcular el perímetro y el área

del resto de cuadriláteros

que no hemos considerado en el vídeo anterior.

En primer lugar y como siempre,

recuerda que el perímetro es igual a la suma

de las longitudes de sus lados.

Esto aplica también para los cuadriláteros en general

y, en particular,

los que vamos a considerar en este vídeo.

En cuanto al cálculo del área...

Que sí sabemos calcular.

Lo mejor ahora es presentar algunos ejemplos

de cálculos de perímetros y áreas de cuadriláteros.

En el primer ejemplo calcularemos el perímetro y el área

del rombo que aparece en pantalla.

Recuerda que un rombo es un paralelogramo de cuatro lados

donde todos sus lados miden lo mismo.

En este caso te dan la longitud de un lado,

cuatro metros.

Luego, todos los lados miden cuatro metros

y sus ángulos son distintos de 90 grados.

En caso de que tuvieras un paralelogramo de cuatro lados

donde todos los lados miden lo mismo

y los ángulos son de 90 grados, estarías ante un cuadrado.

En este caso estamos ante un rombo

y va a ser muy sencillo calcular el perímetro.

Ya sabes que es la suma de las longitudes de los lados.

Vamos a hacerlo, vamos a denotar por P

al perímetro del rombo.

Entonces, tenemos cuatro lados,

cada una de ellos mide cuatro metros.

Tenemos que el perímetro sería cuatro lados,

cada uno de ellos mide cuatro.

Esto te queda... 4x4=16.

Como el lado viene en metros, esto serían metros.

Ya tenemos el perímetro, que ha sido muy sencillo.

Entonces, ahora vamos calcular el área.

Existe una fórmula para calcular el área de un rombo.

Nosotros aquí vamos a razonar.

Observa que, de nuestro rombo,

además de la longitud del lado nos dan la longitud de una diagonal.

Entonces, observa que esa diagonal que nos dan

que mide dos metros divide al rombo en dos partes iguales,

en dos triángulos,

uno en la parte superior y otro en la parte inferior,

que son iguales.

Vamos a tener que el área

va a ser dos veces el área de uno de esos triángulos.

Vamos a considerar, por ejemplo, el triángulo de arriba,

donde ponemos las medidas que conocemos,

ahí lo tenemos.

Entonces, el área de este triángulo,

ya sabes que es base por altura partido por dos.

Tenemos la base pero la altura no la tenemos.

La altura sería esto con respecto de la base,

entonces, tenemos que calcular la longitud de la altura.

Entonces, ¿cómo se calcula esto?

Observa que la altura divide al triángulo en dos partes.

Vamos a copiar, por ejemplo, la parte izquierda.

Claro, aquí lo que obtenemos es un triángulo rectángulo,

donde tenemos el Teorema de Pitágoras,

que va a ser la clave para calcular la altura de nuestro triángulo.

Coincide con esto de aquí, vamos a llamarle x.

Ya sabes, esto mide cuatro metros

porque coincide con un lado de nuestro triángulo

y, bueno, la base de este nuevo triángulo

es la mitad de la base del triángulo anterior.

La anterior medía dos metros,

pues la base esta mide un metro.

Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras.

Ya sabes, cateto al cuadrado, uno al cuadrado

más cateto al cuadrado, x al cuadrado

es igual hipotenusa al cuadrado, cuatro al cuadrado.

De aquí obtenemos...

uno al cuadrado es uno más x al cuadrado

es igual a cuatro al cuadrado, 4x4 es 16.

De aquí se obtiene...

El uno que está sumando pasa a la otra parte restando.

x al cuadrado sería 16-1.

O sea, x al cuadrado te queda... 16-1 es 15.

Entonces, el cuadrado pasa a la otra parte como una raíz.

x sería igual a más menos.

Como x va a ser la longitud de un lado,

solo consideramos el resultado positivo, o sea, +,

no ponemos nada.

Ahora, raíz de 15.

Raíz de 15, si lo haces con la calculadora, por ejemplo,

te queda 3,87.

Entonces, como las longitudes de los lados vienen en metros,

esto serían metros.

Entonces, ya tenemos la altura de nuestro triángulo,

que son 3,87 metros.

Podemos calcular el área del triángulo,

que ponemos aquí.

Recuerda que el área del rombo es dos veces

el área de ese triángulo.

Base que es 2, por altura que es 3,87,

partido de dos.

Entonces, este dos con este dos se va

y esto nos quedaría 2x3,87

que, si lo haces, esto te queda 7,74.

7,74.

Como todas las longitudes vienen en metros,

esto serían metros al cuadrado.

Por lo tanto, si quieres lo ponemos aquí.

El área del rombo...

Y el perímetro,

pues vamos a ponerlo también aquí.

Por si acaso no se ve de ahí,

es 16 metros.

En el siguiente ejemplo calcularemos el área del romboide

que aparece en pantalla.

Recuerda que un romboide es un paralelogramo de cuatro lados

donde sus ángulos son iguales dos a dos

y sus lados miden lo mismo dos a dos.

Entonces, para calcular el área de este romboide

no vamos a utilizar ninguna fórmula, vamos a razonar.

Observa que nuestro romboide

nos da la longitud de la base, cinco metros,

nos da la altura, que es tres metros.

Observa que la altura está dibujada ahí,

divide al romboide en dos partes.

En la parte izquierda tenemos un triángulo, como puedes ver.

Entonces, las propiedades que satisface el romboide

es que si tú recortas este triángulo de la parte izquierda,

pues se acopla perfectamente en la parte derecha.

Nosotros lo recortamos

y nos lo llevamos a la parte derecha.

Esto lo puedes hacer con una cartulina.

Entonces, ahí lo tenemos.

Lo único que hemos hecho es recortar y trasladar una parte del romboide.

Estas dos figuras son igual de grandes.

Lo bueno que tenemos en la figura de la derecha

es que es un rectángulo.

Nosotros sabemos calcular el área de un rectángulo,

es base por altura.

Como hemos indicado ahí, la altura la tenemos,

era la misma que la del romboide, tres metros.

En cuanto a la base,

observa que lo que hemos hecho es trasladar parte de la base,

que la tenemos en la parte izquierda,

a la parte derecha, luego también se conserva la longitud.

Esta base mide cinco metros.

Por lo tanto, el área del romboide

va a coincidir con el área del rectángulo,

como indicábamos, que es base por altura.

Esto te queda, 5x3=15.

Como todas las longitudes vienen en metros,

metros al cuadrado.

Esta sería el área del rectángulo y, por lo tanto,

también el área del romboide.

Si quieres lo ponemos aquí.

Bueno, verás muchos sitios donde te dirán

que el área del romboide es base por altura.

Nosotros, como no vamos a llevar de memoria

todas las fórmulas de las figuras planas,

vamos a razonar.

Simplemente es argumentar cómo hemos hecho nosotros aquí

para obtener el área de un romboide.

En el siguiente ejemplo nos piden

que calculemos el perímetro y el área

del trapecio rectángulo que aparece en pantalla.

El trapecio rectángulo ya sabes que es un cuadrilátero,

que es un trapecio.

Tenemos dos lados paralelos y tenemos dos ángulos rectos,

como puedes ver.

Entonces, para calcular el área,

en primer lugar, no vamos a utilizar fórmula alguna,

vamos a razonar.

Observa que, si consideramos esta altura,

hemos dividido nuestro trapecio rectángulo

en dos figuras.

En la parte izquierda tenemos un rectángulo

y en la parte derecha tenemos un triángulo rectángulo.

Entonces, bueno, vamos a escribir esas dos figuras

en la parte derecha

y vamos a tener que el área de nuestro trapecio rectángulo

va a ser la suma de las áreas de estas dos figuras.

Antes de nada, si nos vamos al trapecio rectángulo,

tenemos que la base mide un kilómetro.

Observa que el resto de longitudes vienen en hectómetros.

Vamos a pasar este kilómetro a hectómetros.

Como sabes, multiplicamos por diez, diez hectómetros.

Entonces, bueno, nosotros tenemos aquí arriba...

Esto mide seis hectómetros.

Esto de aquí abajo también mide seis hectómetros.

Esto va a medir seis hectómetros.

Ese rectángulo ya sabemos que la base mide seis hectómetros.

Lo hemos puesto arriba, pero igual da.

Entonces, fíjate de nuevo en la parte izquierda,

en el trapecio rectángulo,

que toda la base mide diez hectómetros,

esto mide seis hectómetros, luego esto de aquí medirá

lo que le falta a seis para llegar a diez,

son cuatro hectómetros.

Esto nos está dando la base del triángulo rectángulo de aquí,

que es cuatro hectómetros.

Bueno, observa que necesito conocer la altura del rectángulo

y del triángulo rectángulo para calcular las áreas de estas.

Del rectángulo es base por altura,

del triángulo es base por altura partido de dos, pero no lo tenemos.

En lugar de considerarlo aquí en el rectángulo,

vamos a poner x aquí, en la altura, en el triángulo rectángulo,

porque tú sabes que en el triángulo rectángulo

se satisface el Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras dice

que cateto al cuadrado, cuatro al cuadrado,

más cateto al cuadrado, x al cuadrado

es igual a hipotenusa al cuadrado, ocho al cuadrado.

Entonces, aquí obtenemos cuatro al cuadrado.

4x4 es 16,

más x al cuadrado, sería igual a ocho al cuadrado,

8x8 que es 64.

De aquí obtenemos x al cuadrado.

Ahora, el 16 que está sumando pasa a la otra parte restando,

sería igual a 64-16.

Y esto, 64-16, te queda 48.

Entonces, x sería igual, más menos,

es más porque es una longitud de un lado,

raíz de 48.

Bueno, aquí tenemos una expresión decimal de esto,

de raíz de 48.

Redondeamos a la segunda cifra decimal,

te queda 6,93.

6,93.

Y como todas las longitudes vienen en hectómetros,

esto serían hectómetros.

Luego, ya tenemos lo que valen la altura del rectángulo

y también el cateto que nos faltaba del triángulo rectángulo.

Esto es 6,93 hectómetros

y esto lo mismo, 6,93 hectómetros.

El área del trapecio rectángulo

sería el área del rectángulo...

Pues es base por altura,

base es seis, por altura que es 6,93.

Todo viene en hectómetros,

esto van a ser hectómetros al cuadrado

más, ahora, el área del triángulo rectángulo,

que es, base, que mide cuatro,

por altura, que mide 6,93

partido de dos.

Entonces, aquí calculamos esto.

Esto nos quedaría 6x6, 93...

Es igual a 41,58 más...

Y, ahora, tenemos este cuatro con este dos.

Si lo divides, te queda dos.

2x6,93...

que te queda 13,86.

Ahora, esta suma, 41,58+13,86,

eso te queda 55,44.

Todas las longitudes tanto de rectángulo

como del triángulo rectángulo, pues venían en hectómetros,

luego esto sería hectómetros al cuadrado.

Esta sería el área del trapecio rectángulo.

Y ahora nos falta el perímetro.

Entonces, para el perímetro vamos a borrar aquí esto.

Todas estas cosas que no me van a hacer falta,

me van a liar.

El perímetro ya sabes que es

la suma de las longitudes de los lados.

Observa que tenemos un montón de longitudes,

pero nos faltaba esta longitud,

de la altura.

Pero la altura la hemos calculado, era 6,93 hectómetros.

Por lo tanto, ya podemos calcular el perímetro,

la suma de las longitudes de los lados.

Te queda...

Ya sabes que tienes que tener todas las longitudes

en la misma unidad de medida y, entonces, tienes que sumar esto.

Te queda...

Como todo está en hectómetros, pues hectómetros.

Y en el último ejemplo nos piden que calculemos solamente

el área del trapecio escaleno que aparece en pantalla.

Recuerda que en un trapecio escaleno tenemos dos lados que son paralelos

como puedes ver.

Y se tiene que las longitudes de sus lados no paralelos

no miden lo mismo.

Si midieran lo mismo ya sabes que estaríamos

ante un trapecio isósceles.

En este caso es un trapecio escaleno.

Observa que aquí nos están dando muchas cosas.

Lo más importante que vemos aquí es que nos dan dos alturas

y que estas alturas están dividiendo al trapecio escaleno

en tres figuras.

Tenemos en la parte izquierda un triángulo, en medio un cuadrado

y en la parte derecha tenemos un nuevo triángulo.

Entonces, el área va a ser la suma de las áreas de estas figuras.

Primero nos fijamos en el triángulo de la parte izquierda.

Observa que en este triángulo tenemos la base y la altura.

La base es un centímetro y la altura tres centímetros.

Luego, tendremos que el área del triángulo de esa parte izquierda

sería base por altura partido de dos.

Ahora llegamos al rectángulo.

En el rectángulo abajo no tenemos nada,

pero fíjate que arriba tenemos la longitud de ese lado superior,

que es la longitud de la base, que es siete centímetros.

Lo han puesto abajo se ve que para no liar.

Tenemos la altura también, que es tres centímetros.

Todo viene en centímetros.

Para calcular el área, directamente es base, que es siete,

por altura, que es tres.

Ahora, finalmente tenemos en la parte derecha

un triángulo,

donde conocemos la longitud de la base que es dos.

La altura también,

porque tenemos que la altura del triángulo de la izquierda

eran tres centímetros.

Pues esto también será tres centímetros.

El área de ese triángulo es base por altura...

Base, dos, por altura que es tres, partido de dos.

Entonces, ya hemos considerado una partición de nuestro conjunto.

El área del conjunto es la suma de las áreas

de cada una de las figuras en la que queda partida el conjunto.

Entonces, tenemos que calcular esto.

En primer lugar, 1x3 partido de 2. 1x3 es 3 partido de 2.

Te queda 1,5.

+7x3 es 21.

Y aquí, este dos con este dos se van.

Nos quedaría un tres.

Esto nos queda...

Entonces, como todas las longitudes de lados y de alturas

vienen en centímetros,

esto sería centímetros al cuadrado.

Como ves, ha sido muy sencillo en este caso

porque lo teníamos todo.

Bueno, no nos piden calcular el perímetro,

sepa que para calcular el perímetro tenemos...

El lado superior mide siete centímetros.

Esto de aquí mediría siete centímetros.

El lado inferior mide 1+7+2... Serían 10 centímetros.

Entonces, nos faltarían las longitudes de este lado

y de este lado de aquí.

Ya sabes que para el perímetro es el contorno.

Lo de dentro, esas alturas, no hay que considerarlas.

Para calcular las longitudes de esos lados que nos faltan,

nos fijaremos en el triángulo que tenemos en la parte izquierda,

que es un triángulo rectángulo.

Fíjate que la longitud de ese lado sería la longitud de la hipotenusa,

aplicarías el Teorema de Pitágoras.

Y para la longitud de esta de la parte derecha,

de nuevo considerarías un triángulo rectángulo.

Para calcular esa longitud,

observa que ese lado que desconocemos es la hipotenusa.

Aplicas el Teorema de Pitágoras. Una vez que tienes esos dos lados,

sumas todas las longitudes de los lados del trapecio escaleno

y obtendrías el perímetro.

Nosotros, por no alargar el vídeo mucho,

como ya lo sabes hacer,

no lo hemos puesto en el enunciado de este último ejemplo.

Y con esto terminamos este vídeo

donde hemos visto cómo calcular perímetros y áreas de cuadriláteros.

Bueno, resalto de nuevo lo que hemos indicado

de que podríamos tener un listado de fórmulas

y recurrir a estas fórmulas, pero preferimos hacerlo razonando,

que es lo que queda.

Hasta pronto."

(Música)

Bien, pues ya vamos acabando con este primer bloque de geometría,

ya toca despedirme, pero antes os lanzo el reto

del que os hablaba inicialmente en los primeros vídeos

que consiste en lo siguiente.

Me gustaría que cambiarais este ejercicio de memorización,

de todas las fórmulas de áreas, que lo cambiarais por otro.

¿Por otro consistente en qué?

Cada vez que un profe o yo misma os solicite que calculéis

un área determinada de una figura, que la visualicéis,

que penséis en ella, que la dibujéis en vuestra cabecita

y que intentéis vosotros solos deducir cuál es el área,

cómo calcular el área de esa figura, ese es el reto.

Así que, nada, ya después de esto solo me queda despedirme,

lanzaros un besote y hasta la próxima, chicos,

seguimos trabajando duro.

"Vamos a ver cómo llegar ahora hasta la fórmula

que nos da el área de un rombo.

Ahí los tenemos.

Y ahí tenemos nuestro rombo.

Bien, recordemos, un rombo es un paralelogramo de lados iguales

que, en este caso, está compuesto por dos diagonales.

Una diagonal mayor y una diagonal menor

que se cortan particularmente.

Recordemos cómo calculábamos el área de un paralelogramo

cuando, en este caso, lo que nos daban

era la base y la altura.

Ahí está.

Ahora lo que vamos a hacer es duplicar nuestro rombo.

Lo vamos a duplicar mediante triángulos

que se forman al cortarlo por sus diagonales.

Recordemos que ahora no nos dan ni base ni altura,

sino que nos dan diagonal mayor y diagonal menor.

Como en otras figuras planas, muchas de las anteriores,

vamos a descubrir el área del rombo duplicándolo.

En este caso, lo haremos uniendo los triángulos

que se obtienen al cortarlo por sus diagonales

y desplazarlos hasta el exterior de este primer rombo.

Ahí lo vemos.

Que no se nos olvide que lo que tenemos ahora

son dos rombos.

Comprobamos que la figura obtenida es un triángulo.

En este triángulo,

la base y la altura coinciden con las diagonales del rombo.

Por tanto, el área del rombo

será la mitad del área del rectángulo.

Ya tenemos claro cómo calcular

el área de distintos polígonos regulares sencillos.

Recordemos que un polígono regular es equilátero y equiangular,

es decir, se caracteriza por tener

lados y ángulos interiores iguales.

Hemos visto el cuadrado, el triángulo,

ahora vamos a averiguar cómo calcular el área

de un polígono regular de más lados.

Por ejemplo, el pentágono, el hexágono, heptágono, octágono,

eneágono, decágono, undecágono, dodecágono, tridecágono...

Bien, vamos a elegir, por tanto,

uno de ellos para deducir su fórmula

y aplicarla a los demás.

Entre todos los polígonos regulares de más de cuatro lados

vamos a seleccionar el pentágono

y vamos a deducir el área de un pentágono,

ahí lo tenemos, descomponiéndolo en tantos triángulos

como lados tiene.

Es decir, cinco triángulos

que van a ir desde el centro de la figura

hasta los vértices.

La suma de las áreas de estos cinco triángulos

será el área total de nuestro pentágono.

Recordemos la fórmula del área.

Ahí la tenemos.

El área de un triángulo es la base por la altura

partida por dos.

En el caso de polígonos regulares de más de cuatro lados,

llamaremos a la altura de cada triangulito

apotema, es decir,

el apotema es la perpendicular que va desde el centro del polígono

hasta cualquiera de sus lados.

El área del pentágono será, por tanto,

cinco veces el área de cada triángulo.

Comentaros que si multiplicamos el número de lados, es decir,

cinco lados, por la longitud de la base de nuestro pentágono,

obtendremos, ahí lo vemos,

el perímetro de la figura.

Por tanto,

el área de un polígono regular será siempre el perímetro de la base

por el apotema partida por dos.

Si esto no lo comprendéis bien, fijaos en que cinco por B,

es decir, cinco por la longitud de la base,

equivale al perímetro de la base.

Y la h, la hemos sustituido por apotema.

¿De acuerdo?

Muy bien, chicos, pues lanzo a modo de resumen

todas las áreas que hemos deducido

en estos vídeos de figuras planas.

Ahí las tenemos.

Podéis dar al 'Pause',

reflexionar un poquito y recordarlas.

Pues solo me queda despedirme

y esperar y desear que lo hayáis comprendido todo.

Así que, venga, hasta la próxima."

(Música)

"Hola a todos,

este vídeo trata sobre ángulos de polígonos

y en él presentaremos una fórmula

que nos dará la suma de los ángulos de un polígono

en función del número de lados de este.

Bueno, esto no es nuevo, esto lo hemos hecho para triángulos.

Recuerda que...

Entonces, ¿para qué sirve esta fórmula?

Pues para lo mismo que servía para triángulos.

Nos daban un triángulo, conocíamos algunos ángulos

y, a partir del conocimiento de estos ángulos,

calculábamos uno que nos faltaba.

Pues aquí lo mismo.

Tendremos un polígono donde conoceremos algunos ángulos,

a partir de esta fórmula podremos obtener otros.

Entonces, vamos a presentar algunos ejemplos de aplicación.

En primer lugar, la figura que aparece en pantalla,

donde nos dan algunos ángulos del polígono,

observa que aparece un interrogante en uno de los ángulos.

Tenemos que calcular cuánto mide este ángulo.

Entonces, se cuentan los lados, tenemos cinco lados.

Estamos ante un pentágono.

El número de lados, n es igual a cinco.

Entonces, podemos calcular por la fórmula anterior

cuál es la suma de los ángulos en un pentágono.

Simplemente, sustituir en esa expresión la n por 5.

Esto te queda...

Entonces, ya sabemos cuánto vale la suma de los ángulos

en un pentágono.

Podemos aplicarlo a nuestro pentágono.

En primer lugar, vamos a calcular la suma de los ángulos.

Bueno, vamos a llamar a nuestro ángulo x,

supongamos que este mide x.

Entonces, si hacemos la suma de los ángulos tenemos...

Esto te quedaría igual a lo que vale

la suma de los ángulos en un pentágono.

Hemos visto que es 540.

En la parte izquierda tenemos...

50+160 es 210,

+150, te queda 360,

+120 es 480.

Lo que nos falta es x. Esto sería igual a 540.

Entonces, el 480 que está sumando en la parte izquierda,

pasaría a la parte derecha restando.

Obtenemos que x sería igual a 540-480,

que te quedan 60 grados.

Ya sabes el ángulo que faltaba. x vale 60 grados.

Lo dejamos así.

Ya tienes claro cuánto vale ese ángulo.

Bueno, pues vamos a presentar un nuevo ejemplo.

Ahora tenemos un rombo donde...

Ya sabes que en un rombo se tiene un paralelogramo

de cuatro lados donde todos los lados miden lo mismo

pero sus ángulos son distintos de 90 grados.

Pero se cumple que los ángulos son iguales dos a dos.

Observa que en nuestro rombo nos dan dos ángulos

que miden 120 grados

y nos piden dos ángulos, pero ya sabes,

estos ángulos miden lo mismo.

Supongamos que estos ángulos miden x.

Entonces, bueno, vamos a calcular en primer lugar

cuánto vale la suma de los ángulos en un rombo.

En un rombo ya sabes que tenemos cuatro lados,

luego n es igual a cuatro.

La suma de los ángulos se obtiene utilizando la fórmula anterior,

n ahora vale cuatro.

Sustituimos la n por cuatro, tendríamos 4-2x180 grados,

esto te queda...

Entonces, ya sabemos cuánto vale la suma

de los ángulos en un cuadrilátero, en particular, en un rombo.

Entonces, lo utilizamos para nuestro problema.

Hacemos la suma de los ángulos, tenemos estos dos 120,

120+120, tenemos los 2x.

Esto sería igual a 360, como hemos visto.

Entonces, en la parte izquierda,

120+120 es 240.

x+x es 2x.

Esto sería igual a 360.

Entonces, el 240 pasaría a la parte derecha restando.

Tenemos que...

Y el dos que está multiplicando pasa a la otra parte dividiendo.

Obtenemos que...

Si haces esta división, muy sencilla, te quedan 60 grados.

Entonces, ya sabes, los ángulos que nos faltaban miden lo mismo

y ambos miden 60 grados.

Y, ahora, para terminar,

presentamos un nuevo ejemplo donde nos dan un hexágono regular

y nos piden que calculemos cuánto miden sus ángulos.

Bueno, un hexágono regular,

en general un polígono regular,

ya sabes que todos los lados miden lo mismo

y todos los ángulos miden lo mismo.

Entonces, vamos a suponer que uno de estos ángulos

y, por lo tanto, todos, miden x.

Ponemos x en todos los ángulos.

Tenemos que calcular x.

Bueno, estamos en un hexágono regular,

ya sabes que en este caso tenemos seis lados.

Luego n es igual a seis.

En primer lugar, calculamos cuánto vale la suma

de los ángulos en un hexágono.

Ya sabes, sustituimos en la fórmula anterior

la n por seis y nos quedaría...

Hemos ido ahí manteniendo los grados.

Si quieres, no hace falta ponerlo.

Al final, ya sabes que son grados.

Una vez que tenemos la suma de los ángulos en un hexágono,

nos vamos a nuestro hexágono.

Si sumamos todos los ángulos tenemos seis ángulos, todos miden x,

luego la suma de todos los ángulos sería 6x.

Esto es igual a la suma de los ángulos en un hexágono,

que ya sabes que es 720.

Entonces, simplemente este seis que está multiplicando la x

pasaría a la otra parte dividiendo.

Obtenemos que x sería igual a 720 partido de 6.

Esta división, si la haces, te quedan 120 grados.

Por lo tanto, obtenemos que x,

la longitud de cada uno de los ángulos

de este hexágono regular es 120 grados.

Con esto, terminamos este vídeo sobre ángulos de polígonos.

En el próximo vídeo veremos cómo calcular

perímetros y áreas de polígonos regulares.

No te lo pierdas."

"El perímetro de un polígono es la medida de su contorno

y se calcula sumando las longitudes de los lados.

El área de un triángulo es igual a la base multiplicada por la altura

y dividida entre dos.

Se aplica la Fórmula de Herón cuando se conocen los tres lados.

P es el semiperímetro, es decir, la mitad del perímetro.

El área de un cuadrado es igual a lado al cuadrado.

El área de un rectángulo es igual a la base por la altura.

El área de un rombo

es igual a la diagonal mayor por la diagonal menor

y dividida entre dos.

El área de un romboide es como la del rectángulo,

base por altura.

El área de un trapecio

es igual a la semisuma de las bases por la altura.

Para hallar el área de un trapezoide se descompone en dos triángulos

y su área es la suma de las áreas de los dos triángulos.

El área de un polígono regular es igual al perímetro

multiplicado por la apotema y dividido entre dos."

(Música)

Ya estamos de vuelta, ¿qué os ha parecido la clase de hoy?

¿Os acordabais de cómo calcular las áreas y los perímetros?

¿Sí? ¿No?

Una vez más, gracias por el grandísimo esfuerzo y trabajo

que estáis haciendo repasando los contenidos de matemáticas.

Ya sabéis lo que digo,

es importante mantener el cerebro activo.

Hoy os voy a contar cómo pensaba la geometría

Emma Castelnuovo,

que nació en Italia en 1913, a principios del siglo XX,

y falleció hace muy poquito, en 2014 con 101 años.

Madre mía.

Esta matemática italiana era especialista en educación

y destacó mucho en este campo gracias a su trabajo innovador,

especialmente, en el área de geometría.

Es tan importante su aportación a las matemáticas que, en 2013,

coincidiendo con el centésimo aniversario

de su nacimiento,

la Comisión Internacional de Instrucción Matemática

creó un premio con su nombre.

Imaginemos que estamos en una clase con Emma Castelnuovo

y ella nos pregunta:

El prefijo "iso-" es de origen griego

y significa "igual", como en isósceles,

que es un triángulo que tiene dos lados y dos ángulos iguales

y otro que es distinto.

Entonces, dos rectángulos isoperimétricos ¿qué pueden ser?

Efectivamente, eso que estás pensando.

Dos rectángulos isoperimétricos

son aquellos que tienen el mismo perímetro.

Y si tienen el mismo perímetro, ¿tienen el mismo área? ¿Qué pensáis?

La verdad es que no necesariamente.

Mirad, por ejemplo, estos dos rectángulos.

Tienen el mismo perímetro,

pero a simple vista nos damos cuenta que uno tiene más área que otro.

Si el área de cada cuadrito es una unidad,

los dos rectángulos tienen diez unidades que perímetro.

Pero el área de uno es seis unidades cuadradas

mientras que la del otro es cuatro unidades cuadradas.

¿Cómo podemos saberlo sin utilizar fórmulas ni contar cuadraditos?

Una posible solución es utilizar un cordón,

algo sencillo que todos tenemos en casa.

Cogemos un cordón, formamos un rectángulo con el cordón

utilizando cuatro dedos.

Construimos distintos rectángulos con el cordón moviendo los dedos.

Todos estos rectángulos son isoperimétricos porque, claro,

la longitud es la del cordón y es el mismo todo el rato.

Vemos que el área varía moviendo los dedos.

Es más, podemos hacer un rectángulo con área muy pequeña

haciendo muy pequeño uno de los lados.

Vamos con algo concreto.

Imaginaos que tenemos 50 metros de piedra

y queremos construir una piscina

de forma que sea lo más grande posible, es decir,

que tenga el mayor área posible.

Con ese perímetro, nuestra función queda...

Esta función tiene el máximo en...

Es decir, el lado es un cuarto del perímetro.

Si el rectángulo tiene cuatro lados que son iguales dos a dos

y resulta que uno de ellos mide un cuarto del perímetro,

lo que tenemos es un cuadrado de 12,5 metros de lado.

Así que, para construir una piscina con el máximo área posible

resulta que tiene que ser cuadrada.

Antes hemos demostrado que uno de los rectángulos

tenía más área que otro

simplemente dibujando cuadraditos iguales dentro.

Ahora os pregunto, ¿qué área tiene esta figura?

El primer impulso de alguno o alguna será trocear esta figura

para ir calculando áreas por separado y, al final,

sumarlas todas.

Otra forma de hacerlo es utilizar el espacio negativo.

¿Qué es eso del espacio negativo?

Pues sencillamente, aquello que no es nuestra figura.

Si miramos bien nuestra figura

y rellenamos el hueco que falta,

lo que tenemos es esta otra.

Entonces, el lado de nuestra figura

es el área de un rectángulo

de 7x10 centímetros

menos el área del triángulo verde

y menos el área del cuadrado amarillo.

El área del rectángulo es...

El área del triángulo verde es...

El lado del cuadrado amarillo es 10-5-2=3 centímetros.

Entonces, su área es...

El área de nuestra figura es...

Fácil, ¿no?

¿Veis lo que es mirar primero la figura a ver qué tenemos?

Unas veces es mejor partirla en figuras más pequeñas

y otras es mejor utilizar el espacio negativo.

Ahora, el reto.

El reto consiste en calcular el área de esta figura

pero utilizando la visión que tenía Emma Castelnuovo,

es decir, rellenando los huecos, fijándoos en el espacio negativo.

¿Cómo? ¿Ya lo sabéis?

¿Vais a ganar el premio anual de Emma Castelnuovo?

Estoy seguro de ello, pero si necesitas una pista,

esta vez no os tapéis los oídos, porque la pista es visual.

Cerrad los ojos. Aquí tenéis la pista.

Tres, dos, uno...

¿Habéis visto?

Pues ya está, se ha terminado la pista,

ya te puedes destapar los ojos.

¿Qué? ¿Te ha molado la idea y quieres hacer uno más difícil?

Pues te reto a que pienses en una figura geométrica,

puede ser el plano de tu habitación, del salón, de la cocina...

Y calcule su área a lo Emma Castelnuovo.

Como siempre digo, no es difícil, solo hay que pensar un poco.

Igual en casa pueden pensar con vosotros y vosotras.

Matemaníacos y matemaníacas, hasta aquí la sesión de hoy.

Qué rápido, ¿no? Lo habéis hecho estupendo.

Muchas gracias por estar ahí

y mantener el interés en las matemáticas.

No olvidéis que las matemáticas nos rodean,

no le perdáis la pista y estad muy pendientes.

Mañana tendréis más retos de otras asignaturas.

¡Diversión garantizada!

Mucho ánimo y cuidaos mucho. Hasta la próxima.

(Música)

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Aprendemos en casa - De 12 a 14 años - Matemáticas

04 may 2020

En esta franja horaria, se emiten vídeos sobre Geometría: analizamos polígonos cada vez más complejos y deducimos cómo calcular sus perímetros y áreas realizando problemas explicativos.

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