Aprendemos en casa La 2

Aprendemos en casa

Lunes a viernes a las 12.00 horas

Nuevo programa con contenidos educativos dirigido a estudiantes entre 12 y 16 años

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Para todos los públicos Aprendemos en casa - De 14 a 16 años - Programa 6: Matemáticas - ver ahora
Transcripción completa

(Música)

Taller de matemáticas con Santi García Cremades,

hoy hablamos de los números enteros y los números racionales,

que según tenemos entendido son los números

que se pueden dividir por otros números

y dan un número concreto,

y no una sucesión indefinida de decimales distintos.

No sé si lo he dicho bien.

-Sí, está perfecto.

-¿Y qué diferencia hay entre los números enteros

y entre los que tratábamos el otro día, los números naturales?

¿Hay diferencias?

-Los naturales dijimos que eran los números

que se pueden contar con los dedos.

Empezamos por el 1, dijimos que el 0 era un debate abierto, pero...

-En principio que no.

El 1, el 2... así.

-Es más cómodo, porque dices ¿qué es 0?

Vamos a empezar con el 1.

1, 2, 3, 4...

Y así hasta el infinito tenemos los números naturales.

Y los enteros son esos mismos pero el opuesto,

es decir, -1, -2-, -3, -4...

Hasta el menos infinito.

-¿Y cómo se inventaron los números negativos?

-Pues, por una necesidad, básicamente que viene de la suma.

Ya también dijimos una vez, definimos lo que era una suma,

y también venía del siglo XIX,

de finales del siglo XIX ocurrió todo esto a la vez.

Ya una vez que se formula los números naturales,

después formamos la suma,

y ¿qué pasa si yo junto ahora números naturales en una suma?

Yo por ejemplo digo: "A + B = C",

pues es una ecuación que yo a priori la veo sencilla de resolver.

Si yo digo: "1 + 2 = 3".

-Vamos a suponer que A vale 1...

-Vamos a decir...

A vale 1.

-Y B vale 2.

-Pues esto son sumas que hacen los niños.

1 + 2 = 3.

Todo eso es muy sencillo,

pero hay ciertos problemas

que si yo quiero resolver ecuaciones en general,

si yo digo ahora que la A,

voy a cambiar los números,

si yo digo la A es un 3,

y como hemos cambiado los números,

la C es un 1.

Vale, ¿qué número sumado a 3...?

-Sumado a 3 para que te dé 1. -Claro.

- -2. - -2 no conozco ninguno natural.

Entonces ya se inventaron otro conjunto

que era el opuesto a lo natural,

en base al 0 que ya hemos dicho que...

-Lo dejamos por ahí.

-Le pongo los paréntesis, el (-2).

3 + (-2) = 1.

Ya con los enteros tenemos resuelta cualquier ecuación

en los números naturales de este conjunto.

Es decir, de esta ecuación.

-Vale, ya tenemos claro

por qué hemos inventado los números negativos.

Ahora vamos a los números racionales,

¿qué son los números racionales?

He dicho antes que son aquellos que se pueden racionar,

es decir, que puedes partir...

-Eso es.

No es de la razón,

porque la razón nos dice que son los números naturales,

y luego la razón matemática ya...

Es de ración, partir algo,

por ejemplo, una naranja, tiene gajos.

Depende de lo que contemple como unidad de medida.

Si mi unidad es la naranja, una parte de la naranja

puede ser un cuarto, un tercio, una mitad,

depende de la gente que tenga para repartir,

y se inventaron también para eso, para poder partir en varios trozos.

Esto es algo también que puede ser casi intuitivo,

pero también jugamos con los números negativos ahí,

o podemos contemplar números muy grandes,

101 dividido entre 45,

puedes hacer la división que tú quieras.

-Pero ¿y cuándo no te da un número exacto?

Cuando tú divides una unidad en partes

y resulta que no es definida, por ejemplo,

la tercera parte de una unidad es 0,3333333,

y así hasta el infinito.

Pero hay otras proporciones, la proporción áurea, por ejemplo.

-O el número.

Esos son otro tipo de números, claro.

Si hablamos de números racionales es que se pueden explicar

como ración de dos cosas, o fracción,

también se dice números fraccionarios,

como fracción de dos cosas.

Si vamos a la misma definición de por qué tenemos números enteros,

vamos a esta definición ahora,

A x B = C, vamos a hablar de esto.

Digo, vale, esto en números naturales,

vamos a hablar solo de los positivos,

pues 1 x 3 = 3,

como los niños, muy fácil,

con la multiplicación también es sencillo.

Pero está el caso, como antes pasaba con la suma,

que, si yo digo, vale, si yo tengo aquí un 3,

¿cuánto hay que multiplicar para que me salga aquí un 2?

Entonces dijo: "Ostras, hay que pensarlo un poco".

-Por la mitad de uno ¿no?

-Pues, claro, digo:

"El 3 lo llevo para allá, y salen 2/3".

-Claro. -Claro, son tres partes.

-Y digo: "¿Qué tengo que hacer para que al final sea 2?"

Pues, tengo que hacer 2/3 para que multiplicado por 3,

o si hago 1 sería un tercio.

Por esto nacieron los números fraccionarios

para resolver este tipo de ecuaciones

en los números naturales.

-También para repartir ¿no?

Porque tiene que ver...

Esto es de los egipcios, me parece...

Claro, los egipcios ya controlaban muy bien

lo que eran las fracciones de las cosas.

Y como he comentado antes tenemos ahora unos decimales,

si queremos contarlo con los numeritos decimales

hay curiosidades bastante interesantes.

Por ejemplo, que hay algunos que me sale los decimales finitos,

1/2 es... -Es 0,5.

-Incluso, me podría ir a lo más básico.

Yo digo 2/1 = 2.

Ni siquiera me he ido a los números fraccionarios.

Aunque esto sea una fracción.

Pero si hablamos de otro tipo de fracciones como 1/3...

-Ahí es 0,333333...

-Entonces tendría unos decimales infinitos,

pero resulta que tienen un periodo.

El periodo es finito siempre, un periodo tiene que ser finito,

y tenemos el 3 que se repite hasta el infinito.

3, 3, 3, 3, 3...

Y eso ocurre con muchos.

Y a veces, en vez de ser de una cifra

tenemos de 2 cifras, de 3 cifras, incluso de 50 cifras.

Y lo que decía del número áureo, o el número,

que es el más famoso de todos...

-Recordemos, Santi, ¿qué es lo que expresa el número?

-El número es la fracción, precisamente,

la razón, se puede asumir,

de un perímetro de un círculo con respecto a su diámetro.

O sea, yo tengo...

Por eso se dice siempre que viene de un círculo.

El número viene de esto, de un perímetro entre su diámetro.

-Es dividir el perímetro de una circunferencia

por el diámetro ¿no?

-Este es el perímetro, y este es su diámetro, lo divides...

Cualquier círculo, lo más grande que te imaginas,

la Tierra que se puede asumir que es una esfera,

aunque sea un poco achatada por los polos,

pero el número entonces es un número

que no tiene la cualidad esta de un periodo finito...

-Porque no es 3,1416.

Era 3,14... -3,141592...

Y hay gente que se lo aprende hasta los 100 primeros decimales,

da igual que te aprendas 100,

porque hay infinitos y nunca se repite ningún patrón.

Entonces es un tipo de número curioso, diferente,

que ya veremos otro día, que es otro conjunto.

Estamos hablando de los números racionales

que son un conjunto diferente al de esto que...

-Que son los números irracionales ¿no?

Y, la proporción áurea

también sería un número irracional, ¿no?

-Los números más, así como el número "e", Raíz de 2, Raíz de 5.

Todos estos números... El, el...

Todos estos números son todos de un conjunto diferente

que es el conjunto de los irracionales.

-Y son unos números muy chulos, ¿no?

Quiero decir, que llaman mucho la atención,

no solo a los matemáticos,

sino que luego pueden encontrarse a lo mejor en la naturaleza, ¿no?

-Claro, aparecen en cualquier tipo de armonía natural como

cómo crecen los pétalos de las flores, o incluso,

lo que hemos hablado muchas veces, la reproducción de las especies,

siguen un patrón que, casualmente,

tienen un número irracional que no responde a algo

que uno cabe pensar que es natural, no, es irracional incluso.

-Como si la biología estuviera relacionada

con los números irracionales.

-Después dices, ¿las matemáticas se inventan?

¿Se descubren? ¿Estaban ya ahí?

¿Son una herramienta?

Esto es un debate que podríamos decir cualquier cosa de estas.

-Oye, y el caso aquel de los griegos

que descubrieron los números irracionales, ¿es verdad?

Que los metieron en un barco...

A ver, cuéntanos un poco.

-La historia tiene que pertenece a los griegos, y que es dura,

es la de un griego

que empezó a calcular la diagonal de un cuadrado,

tan simple como esto.

Venga, pues un cuadrado, vamos a hacerlo fácil,

y hacer que sea el lado 1, y 1.

Venga, pues como solo conocían los números naturales,

conocían también los fraccionarios, la razón de los números naturales,

y los enteros que era lo opuesto de un número,

querían calcular esta diagonal con un número de estos.

Y se dieron cuenta que empezaban a calcular y a calcular, y decían:

"¿Qué número será este?".

Y se dieron cuenta

que no pertenecía a esa familia de conjuntos,

y el que lo descubrió, de hecho, no sobrevivió a ese descubrimiento.

Se llamaba Hipotarco, me parece recordar.

Y, de hecho, lo descubrió y dijo:

"Esto, dicen aquí, la escuela pitagórica

que no saben explicar este número con lo que conocemos,

y esto puede ser una cosa diabólica".

Porque ellos pensaban que los números

guardaban siempre una cierta divinidad,

y como decía, esos números escapaban de la razón,

escapaban de nuestra humanidad, y era un debate bastante fuerte

porque esto es el número Raíz de 2,

que no pertenece al conjunto de los que conocían,

que eran los racionales, los enteros y los naturales.

-Y Raíz de 2 es también un irracional, ¿no?

-Un irracional, nunca responde a un patrón finito de decimales.

-Bueno, pues tenemos que dedicarle un capítulo

a los números irracionales,

y yo creo que, incluso, a cada uno de los más significativos.

-Claro, yo creo que el número y el número,

se merecen una explicación propia de cada uno,

pero una cosa que me gustaría comentarte,

es que los decimales son curiosos porque, a veces,

los que parecen que son irracionales

después resulta que va y te dan unos decimales finitos.

Yo tengo aquí unos decimales bastante curiosos,

que a ver si me da tiempo de comentarte.

Por ejemplo, tengo 10/81,

evidentemente yo ya sé que es racional

porque son dos números naturales divididos.

Pero resulta que si yo,

esto lo puede hacer la gente en su casa con la calculadora,

te da que es 0,123456...

-O sea, que te da la sucesión de los números naturales.

-Hasta el 9. -Hasta el 9.

-Y ya se repite todo el rato, perdón, aquí viene un 0.

0,123456789...

Y así hasta el infinito.

Y hay otra curiosidad más...

-Eso, ¿qué significado puede tener?

-Ninguno. -Ah, bueno.

-Siento romper la magia,

pero al final los números tienen belleza por sí mismos.

Esto no quiere decir nada, simplemente,

que los decimales, a veces, nos descubren propiedades.

Por ejemplo, si yo ahora a este anterior le meto un 0,

y al de abajo le meto un 9,

resulta que me hace exactamente lo mismo, pero por partida doble.

112233...

-Son como curiosidades de pasatiempo, ¿no?

-Claro, y esto,

lo puedes extrapolar a tres...

1000/8991 = 0,111222333

Aquí sería tres veces.

Y esto cuando ya hay un caso general ahí sí que hay matemáticas,

ahí no es que sea ya magia,

sino que ahí ya responde

a que, si metes aquí dos ceros, metes aquí dos nueves,

ahí ya está pasando algo y ya se puede estudiar.

-¿Y está estudiado eso, Santi?

-Claro, sí, esto se puede generalizar

en el caso o infinitos casos en este patrón.

-Pues nada, muchas gracias, Santi. -Un saludo.

(Música)

Taller de matemáticas con Santi García Cremades

con quien para cerrar este taller vamos a hablar del famoso número,

que cuando yo estudiaba era 3,1416,

y ahora es 3,141592 y así hasta el infinito y más allá.

-Se ha complicado. -Se ha complicado un poco.

A ver si lo he entendido bien,

el número es la relación que hay

entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

-Exactamente.

Esa es la definición del número porque es verdad que...

Yo estoy contentísimo hoy porque vamos a hablar de...

Como decía Sabina: "Nos sobran los motivos...",

para hablar del número y vamos a comprobarlo.

La definición, ya es curiosa de por sí, a ver,

la longitud de una circunferencia dividida por su diámetro,

es decir, cualquier círculo, da igual lo grande que sea,

puedes coger la Tierra de grande, que aproximadamente es una esfera...

-Es siempre la misma ¿no? -Siempre va a ser la proporción...

La división entre longitud,

longitud...

Y diámetro,

siempre va a ser la misma y va a ser el número.

Pero esto siempre es aproximado, porque claro, tú dices:

"Entonces, yo cojo un círculo, el que sea,

pues yo cojo una cuerda,

le doy la vuelta al círculo e intento medirlo".

Lo que vemos aquí en pantalla, Salva, cojo la cuerda,

y yo lo mido, y digo:

"Vale, la longitud será, lo que sea...".

Es decir, 4,5, aproximadamente al centímetro, ¿no?

E incluso al milímetro.

Y al microscopio, también nos podemos ir...

Vale, yo tengo la cantidad esta, ¿y el diámetro?

Vale, pues el diámetro es lo que yo abra el compás.

Puede ser 1, para facilitarlo todo, y ya está.

Y a ver qué número me da esto.

Pues ya vieron los griegos

que la longitud esa de la cuerda,

no se ponían de acuerdo,

uno decía: "Yo me aproximado hasta esta medida".

y el otro decía: "Pues yo un poquito más".

Y otro decía...

Por ejemplo, el caso clásico del número que es 3,14,

entendemos que es 16, y lo redondeamos ahí,

pues había gente que decía que era 3,2,

otros decían que era 3,1,

otros decían que es 3, y lo has calculado mal.

-A lo mejor podían hacer una prueba cogiendo el círculo

como una rueda de un carro, y ver lo que se desplazaba para...

Para hacer toda la longitud.

-Eso es otra forma de verlo.

Porque claro, una vuelta de la rueda, justamente,

deja el camino del número, es decir, del perímetro.

Y el perímetro ya sabemos,

que la longitud de esa cuerda es 2 R,

o sea, si R es 1, es 2 .

Si R es 2, es 4 . Y así...

Entonces yo digo,

2 R es la longitud de esa cuerda, eso ya lo conocemos,

eso ya lo conocemos, eso ya fue posterior,

y el diámetro es 2R, el radio es "R",

pues si dividimos longitud entre diámetro,

las "R" se me van, los 2 se me van,

y me queda el número.

-Esto que estás haciendo está muy sucio,

explícamelo otra vez.

(RÍEN)

-Entonces, la definición del número,

vamos a escribirla.

La longitud entre diámetro.

Vale, la longitud lo puedes ver con una rueda, o...

Pero eso siempre de manera aproximada,

eso es una medida humana.

Pero ya sabemos después, que demostraron,

que la longitud de una circunferencia es 2 R,

eso lo sabemos de memoria, pero está demostrado, así que 2 R.

Vale, esa es la longitud, y el diámetro es 2R.

Así que aquí podemos comprobar fácilmente,

que los 2 fuera, las R fuera,

y se me queda esto igual al número.

Vale, entonces, ya está demostrado que sí,

que esto viene de la definición, y ya lo vemos.

Pero, claro, tiene muchas propiedades,

y esto es lo interesante.

La primera de ellas, que esto lo hemos hablado ya muchas veces,

es la irracionalidad del número, es decir,

es un número que siempre tiene decimales

y nunca se repite ninguno,

y es por eso que no se ponían de acuerdo los griegos.

Es que ellos creían mucho en los números, en la numerología,

tenían poder divino los números, y decían:

"Pues tiene que ser o 3, o 3,14, o 3,14 y un 5, o 3,1416...",

No se ponían de acuerdo.

Al final, descubrieron, ellos no, pero un poco después

se descubrió, que era un número irracional,

fue de los primeros números irracionales que se descubrió.

No terminaba nunca la aproximación,

no ibas a terminar jamás con esa escritura...

-¿Y qué significado podría tener eso?

-Eso significaba, por lo menos,

que era un número diferente a lo que conocíamos.

Era un número que escapaba de nuestra razón,

por eso se llaman irracionales.

Y otra propiedad que me gusta mucho es que es un número trascendente.

-¿Y eso qué significa?

-Es un poco complejo de explicar,

pero vamos a identificarlo con las ecuaciones, vamos...

-Madre mía.

-Sí, miedo... Vamos a temblar un poco.

Si pongo X + 1 = 0,

bueno, pues esta es fácil, -1.

-Fácil, -1.

-Venga, pues vamos a hacer una un poco de segundo grado.

Ya vamos a...

Vamos a hacer aquí para que tenga solución...

X2 -2 = 0.

Ostras, esta ya es más difícil.

Me llevo el 2 para allá y...

-Entonces... Raíz de 2, ¿no?

-Claro. Entonces es...

Y esto si no lo hago los profesores se cabrean,

"+" "-", Raíz de 2.

O sea, hay dos soluciones,

que es la positiva y la negativa de Raíz de 2.

Hasta ahí estábamos bien.

Y ese ya es irracional, o sea,

es un número también como el número,

pero este no es trascendente.

¿Por qué? Porque tiene una expresión en una ecuación,

se puede expresar como una ecuación.

Pero, sin embargo, el número, no hay ninguna ecuación como esta,

ninguna, con números enteros,

que la solución sea el número, así que,

ese no es trascendente, y hay muy pocos.

-Y otra cosa, por ejemplo,

yo he leído para prepararme esta entrevista,

que está relacionado con la probabilidad el número.

-Sí, está relacionado con todo lo que tenga curvas,

está relacionado.

Por ejemplo, hay una cosa

que se descubrió hace bien poquito que era en los ríos.

Tú dices, venga, voy a dibujar un río,

venga, este es un río,

que tiene su nacimiento y su desembocadura.

Entonces, voy a medir la longitud de ese río.

Pues la longitud de ese río será "L", otra vez.

Y ahora voy a hacer la división de una línea recta

del punto inicial y del punto final, en línea recta.

-Una línea imaginaria recta.

-La calculo y veo la distancia, con los GPS ahora es muy fácil...

Antes no se podía hacer.

Bueno, un descubrimiento muy reciente,

vieron que, cogiendo muchos ríos,

todos los ríos del mundo que estaban estudiados con datos,

vieron que esa división, justamente, relacionaba...

No voy a poner que es exacta, pero relacionaba al número.

-Algo parecido al número, ¿no?

Algo cercano al número, y eso, ¿por qué?

-Porque aparece en todo lo que tenga curvas, por ejemplo,

las ondas de radio no existirían sin el número,

porque también son ondas, y todo lo que tenga así algo curvo,

pues tiene el número.

Esto también se vio hace poco con la física cuántica.

La física cuántica responde a algo curvo,

porque habla también de oscilaciones,

la oscilación no va con picos estrictos,

sino que va siempre de forma suavizada,

y como se forma curva,

pues cuando hay curvas ahí está siempre el número.

-Y, ¿para qué has traído las habichuelas?

-Vamos a hablar de cómo podemos aproximarnos al número

a través de nuestro mundo real,

-Bueno, esto es un círculo inscrito en un cuadrado, ¿no?

-En un cuadrado, podría dibujar aquí al hombre de Vitruvio,

lo que yo quisiera.

Y tenemos un círculo,

vamos a poner para facilitar que es R = 1, la unidad.

Con un compás, lo abro de uno, y dibujo el círculo,

y el cuadrado de lado a lado... -Siendo tangente a los...

Claro, el cuadrado va a ser de lado 2, porque es 1 + 1.

-Claro, claro. -Vale.

Pues esto, yo voy a ponerlo aquí, y ¿qué tiene que ver la moneda?

Pues yo te digo, la moneda yo si la lanzo

sabemos todos que hay una probabilidad

de un medio de salir cara o salir cruz.

Lo voy a hacer muchas veces, lo puedo hacer 1000 veces,

y entendemos que la mitad, la esperanza es que...

-Que salgan el 50% cada uno, ¿no? -50% cada una.

-Si la moneda es perfecta, vamos.

-Eso es, es una aproximación, que a veces hay una mala racha y...

-A lo mejor tienes que tirar 1000 veces la moneda

para que te dé exactamente eso...

-Se dice que la probabilidad habla en el infinito, entonces,

en el infinito, que no tenemos tiempo para eso,

pero en el infinito la mitad saldría cara,

y la mitad saldría cruz,

y dicen que uno de cada 200.000 sale canto, pero el canto...

(RÍEN) -El canto no cuenta.

-Eso era una curiosidad.

Pero, vamos a ver qué pasaría con el cuadrado y el círculo.

Por eso he traído las habichuelas.

Vamos a sacar el número,

igual que hacemos un lanzamiento de la moneda,

vamos a calcularlo lanzando habichuelas.

-Pero unas poquitas, ¿no?

-Unas poquitas, si no vamos... -Porque si no, hay que contar mucho.

-Venga, vamos a contar las que caen, las voy a lanzar aleatoriamente,

sin mirar, y a ver cuántas caen en el círculo,

y cuántas en el cuadrado.

-En las esquinas del cuadrado, ¿no? -Sí.

Vamos a hacerlo aquí encima, va a ser algo experimental.

Tengo aquí poquitas, voy a lanzar unas pocas más...

-Ya está.

-Entonces, las que salen fuera del cuadrado no las cuento,

quito esta, y esta también,

esta también está un poco fuera, y esta, bueno, ojo de halcón...

Vamos a contar, las que han caído

entre las esquinitas son solamente esta,

la voy a contar, y esta, dos.

Lo voy a apuntar aquí para no olvidarme.

2 en las esquinitas.

Y después dentro del círculo me han caído...

9, vale.

¿Esto qué tiene que ver con el número?

¿Cómo puedo calcular el número con esto?

Bueno, estudiando las áreas.

Ya sabemos que el área del cuadrado y el área del círculo,

lo sabemos muy bien,

ya me olvido de las habichuelas, y digo...

El área del círculo ya la conocemos también,

el perímetro es 2 R y el área es R2.

Pues, R2, en realidad, como tengo R2,

pero R2 he dicho que el radio era 1, o sea,

que R2 este, me puedo olvidar,

que es .

El área del círculo este era.

-Porque era un radio de 1. -Eso.

Y el área del cuadrado es...

-2 x 2 = 4.

-Claro. Exacto.

Tengo el lado por otro lado, o sea, 2 x 2 = 4.

Entonces, esto al final sería /4, esta proporción.

Y esto es lo que se espera que ocurra.

Pero, la realidad no es lo que se espera a veces,

a veces hay diferencias.

Ya hemos dicho que ha habido 9 en el círculo,

y 2 en las esquinitas,

entonces, vamos a hacer la aproximación.

Yo voy a hacer aquí, voy a borrar todo esto...

Yo digo, tengo el área del círculo entre el área del cuadrado,

pues el área del círculo era,

el área del cuadrado era 4.

Y esto es aproximadamente lo que ocurre a tiempo finito.

Por ejemplo, se pone

el número de veces

que han caído en el círculo,

y el número de habichuelas

o lo que tú quieras que ha caído en el cuadrado.

Ya las sabemos, ya las hemos contado,

en el círculo han caído 9,

y en el cuadrado han caído 2 en las esquinitas,

más las 9 del círculo porque están contenidos...

- Claro, 2 + 9 = 11.

-Ahí está, entonces, yo digo, vale, esto es 9/11.

Entonces, ¿cómo aproximo el número?

Pues, bueno, me voy aquí a la pantalla y digo,

el número es aproximadamente...

El 4 me lo llevo para allá,

entonces el método este,

que se llama el Método de Montecarlo,

porque el Método de Montecarlo es algo que se hace por integración,

como la carrera de Montecarlo

que dan vueltas en un circuito muy pequeño muchas veces,

y se estudia así,

eso se estudiaba en el Casino de Montecarlo

con muchas tiradas, entonces, el Método de Montecarlo

nos diría que es aproximadamente

4 x 9/11.

-36/11

-36/11, que de cabeza no sé...

Sí, si es 3,1416, pues por ahí.

Hemos echado solamente 11 habichuelas,

el Método de Montecarlo funciona con 10.000, con 100.000...

-Mientras más, más se aproxima.

Como lo de la tirada de la moneda ¿no?

-Lo de la moneda si lo hiciésemos infinitas veces,

ocurriría exactamente el número, como no tenemos tiempos infinitos,

tenemos que...

-Claro, somos pobres seres humanos...

Ha sido un verdadero placer, Santi. -Gracias, Salva.

(Música)

Presentamos, a continuación,

dos propiedades cruciales de un experimento aleatorio,

la probabilidad condicionada y la independencia de sucesos.

Vamos a preguntarles si tienen móvil.

En esta situación tan sencilla tenemos dos sucesos que se cruzan,

los vemos.

Y sus complementarios, claro, los vemos.

En situaciones como esta,

en las que tenemos dos variables que se cruzan,

conviene organizar los datos en forma de tabla.

Podemos poner por filas el número de chicas y chicos,

y por columnas el número de estudiantes con móvil o sin él.

Por último añadimos una fila y una columna con los totales.

A este tipo de tablas se les llama tablas de contingencia.

Vienen fenomenal a la hora de organizarse la información

y calcular probabilidades usando la Regla de Laplace.

Veamos cómo.

Planteemos ahora una cuestión ligeramente distinta.

Esto es, elegimos a un estudiante al azar que sabemos que es chica,

y nos preguntamos por la probabilidad de que tenga móvil.

Dale a la pausa y calcula la probabilidad

de que un estudiante elegido al azar tenga móvil sabiendo que es chico.

Efectivamente, esta probabilidad es la que veis en pantalla.

Fácil, ¿verdad?

Bueno, pues la probabilidad condicionada

permite plantearnos un montón de cuestiones

relativas a dos o más sucesos.

Vemos otro ejemplo con unos datos iniciales ligeramente distintos.

Primero conviene organizar los datos en forma de tabla de contingencia,

ahí la tenéis.

Estas probabilidades coinciden

con la de tener móvil independientemente del sexo.

Fíjate, además, en las filas de la tabla de contingencia.

¿Aprecias algún tipo de regularidad en ellas?

Resumiendo, los sucesos A y B son independientes

si se verifica que la probabilidad de B condicionada a A,

es igual a la probabilidad de B.

Esto es, conocer que haya ocurrido A,

no implica nada respecto a la probabilidad de B.

(Música)

Hola, en este vídeo vamos a hacer

algunos problemas de probabilidad muy clásicos

que se basan en extraer cartas de una baraja.

Primero dedicamos un segundo

a explicar cómo es la baraja que vamos a usar.

Vamos a usar la baraja española que tiene 40 cartas,

40 cartas que son de cuatro palos, oros, espadas, bastos, y copas.

Dentro de cada uno de los cuatro palos está el as, que sería el 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, después "J", caballo, y rey.

Es decir, del 1 al 7, sota, caballo y rey.

Son 10 cartas de cada palo, como hay cuatro palos,

un total de 40 cartas.

¿De acuerdo?

Cuando ya sabemos esto,

ahora vamos a poder hacer los ejercicios.

En este ejercicio nos dicen

que se extraen tres cartas de la baraja española.

Extraer una...

Dos... Y extraer otra.

Y que calculemos la probabilidad

de que en esa extracción ocurran los distintos sucesos.

Primero, que las tres sean de copas.

Cuando nosotros vayamos a hacer estos ejercicios,

es muy práctico poner tres líneas,

una para cada una de las cosas que queremos que ocurra.

Bueno, pues que la primera carta sacada sea de copas,

que la segunda también, y que la tercera también.

Y recordad que cuando vamos a hacer cosas sucesivas

que deben cumplirse obligatoriamente,

tendremos que hacer que la probabilidad de ese suceso,

del suceso total, las tres de copas,

sea el producto de las probabilidades

de cada uno de estos apartados intermedios.

Para saber la probabilidad de que cuando extraigo una carta

sea de copas, por supuesto, aplico la Regla de Laplace,

por ahí te lo pongo.

Número de casos favorables, 10 cartas de copas,

partido por el número de casos posibles,

40 cartas que tengo en total.

Ahora, como es una condición que debe ocurrir obligatoriamente,

multiplico por la probabilidad de la siguiente condición,

que la siguiente carta sea también de copas.

Como la primera que saqué ya es de copas, esta ya no está,

ahora en el mazo, en el total me quedan solo 9 de copas,

de un total de 39 cartas.

Y si ahora impongo una nueva condición

que debe cumplirse obligatoriamente, otra vez debo multiplicar,

me quedarán ya solo 8 de 38.

Y esto, el resultado sería la probabilidad de que ocurra esto.

Podemos hacer, aunque sea rápido, simplemente,

la simplificación para ver que muchas veces

cantidad de los pasos con la calculadora

te los puedes ahorrar,

y entonces estos ceros se van, este 4, y por aquí te queda un 2,

y entonces este 2 se va con 18,

te queda 19,

aquí un 3 y un 13,

te quedaría...

3/247.

Puede que te pidan expresarlo como fracción o como decimal,

recuerda que siempre la probabilidad va a ser un número menor que 1.

Una pequeña aclaración, es posible que, en ocasiones,

te digan que hagas la extracción con devolución.

Con devolución no es hacer lo que hice antes, que era,

extraigo la carta, y ahora sigo con estas,

sino que con devolución es extraigo una carta,

y antes de extraer la siguiente, la vuelvo a poner.

De manera que, cada vez sigo teniendo las 40,

si hubiese sido con devolución, habría sido...

10/40,

que es la primera de copas, y como vuelvo a ponerla,

otra vez 10/40,

y otra vez 10/40.

Aquí sin mucha dificultad

se ve que sale 1/64.

La diferencia sin devolución,

cada vez me quedan menos del palo que me interesa,

y también menos en total.

Con devolución se mantiene.

Muy bien, pues ahora vamos a ver que las tres sean del mismo palo,

y tenemos varias formas de afrontar ese problema.

Pensad que tenemos tres opciones, que las tres sean de copas,

o las tres de espadas, o las tres de bastos,

con las tres sean de oros.

Cuando tengo opciones que todas ellas me favorecen,

lo que debo hacer es sumar,

tendría que sumar la probabilidad de que las tres fuesen de copas,

a la probabilidad de que las tres sean de espadas,

las tres de bastos, las tres de oros.

Eso, evidentemente, son casos equiprobables,

que tienen la misma probabilidad,

sería lo mismo que multiplicar por 4,

la probabilidad de que las tres fuesen de copas

que era el apartado A, es decir,

4 x 3/247, 12/247.

Y esto es una forma de afrontarlo,

ver que tengo distintas opciones para que se cumpla mi resultado,

y por eso, esas opciones que me favorecen todas ellas,

debo sumarlas.

Otra forma de afrontar este problema sería,

pensar cómo voy a hacerlo en la práctica.

Quiero sacar tres cartas, y que las tres sean del mismo palo,

la primera no me importa cuál sea, la primera puede ser cualquiera,

de cualquier palo, por lo tanto, si voy a hacer esto así,

para la primera carta me valen todas, las 40, ahora,

la siguiente tiene que ser del mismo palo que esta, y aquí sí,

ahora ya sería 9/39

y la siguiente del mismo palo que esta segunda que he sacado,

8/38.

Que, si simplificas y efectúas,

sin ninguna duda, nos vuelve a salir otra vez 12/247,

como no debía ser de otra forma.

Las dos maneras de afrontar el mismo problema

nos da lugar al mismo resultado.

Y ahora, siguiendo este mismo planteamiento,

vamos a hacer el tercer apartado, que las tres sean de distinto palo,

entonces, que una sea del palo "X", otra sea del palo "Y",

y otra sea del palo "Z", el que sea.

La fórmula sencilla de pensarlo es que, para la primera carta,

no me importa cuál es,

para la primera carta estoy como antes,

saco una carta, vale, esta,

ahora, ¿qué tiene que ocurrir?

Que la segunda sea cualquiera de las otras que me quedan aquí,

que no sea de oros, que no sea de este palo,

es decir, 30/39,

y ahora ya voy a sacar, pongamos que fuese esta,

y para la última debe ser de un palo distinto a estas dos,

y aquí me quedan 20 cartas que serían todas las de espadas

y todas las de bastos que cumplen esa condición,

sobre 38 posibles.

Y este sería el resultado

de que las tres sean de distinto palo.

Existen otras formas de plantear este ejercicio,

pero sin duda, creo que esta es la más sencilla de todas,

aquí podríamos simplificar.

Y estos serían los resultados de estos ejercicios.

Ahora, debo terminar esto diciéndote otra cosa,

que no es de matemáticas,

pero quizás sí es de matemáticas,

y más importante que las matemáticas,

nunca juegues dinero en los juegos de azar,

el dinero en los juegos de azar lo único que se hace es perder,

tanto si juegas a las cartas,

como si especialmente si jugases por Internet,

las casas de apuestas por Internet ganan muchísimo dinero

y el dinero que ganan es el de los incautos que juegan,

así que, no seas tú uno de ellos.

Y eso es todo.

(Música)

Taller de matemáticas con Sergio Castro,

profesor10demates, hoy para hablar

de la ley de gravitación universal,

que está entre las matemáticas, por supuesto, y la física.

-Bueno, es más bien física, pero también tiene por supuesto,

su parte matemática.

Todo tiene su parte matemática.

-Claro que sí,

lo único es que hay que ser lo bastante listo para descubrirla.

Porque Newton era muy listo, ¿no?

-Sí, era muy, muy, muy listo.

-¿Y cómo descubrió la ley de gravitación universal?

Que es una historia que siempre se cuenta,

que tiene que ver con una manzana...

-Sí, con una manzana. Es una historia muy chula,

porque vamos a situarnos al final del siglo XVII, entonces,

al final del siglo XVII se conocían dos cosas,

se conocían cómo era el movimiento de los objetos,

de la caída de los objetos en la Tierra,

gracias a los trabajos de Galileo Galilei,

y también se conocían

o se sabía cómo orbitaban los planetas alrededor del Sol,

que era en órbitas elípticas, gracias a las tres Leyes de Kepler.

Vale, entonces, se sabía que los planetas

cumplían las Leyes de Kepler,

pero no se sabía el porqué.

Es decir, se sabía porque era muy fácil comprobarlo,

porque, por ejemplo, si hoy Marte estaba aquí,

y dentro de un mes estaba ahí,

y era donde decía que tenía que estar las Leyes de Kepler,

es que se cumple, vale, no hay más, eso es así.

Pero, sin embargo, no se sabía él porqué.

Entonces, se preguntaban el porqué, y en la Royal Society de Londres,

pues decidieron preguntar

a los mejores científicos de la época.

Entonces, es muy famosa la historia de que Halley

fue a preguntarle a Newton... -El del cometa...

-Sí, Halley el del cometa, el que lo descubrió,

a ver si les daba o aportaba algo.

Y por sorpresa Newton les dijo que ese problema ya lo tenía él

más que resuelto 20 años atrás.

Entonces es la historia famosa de la manzanita

que está Newton ahí tomando el solete en su finca,

debajo de un manzano, supongo que sería un manzano,

y le cae la manzana... -En la cabeza.

-Luego si eso hablamos un poco de esa historia.

Y entonces de ahí sale la ley de gravitación universal que,

podemos ver la fórmula.

-Tiene una fórmula matemática muy... En teoría muy sencilla.

-Yo creo que sí, va a ser fácil de entender.

Entonces, si nos fijamos en la manzana,

sobre la manzana si yo la suelto, soltamos...

Vaya reflejos, sí, señor. (RÍEN)

Si la soltamos, hay una fuerza que la hace caer,

entonces, esa fuerza es proporcional a la masa grande

que es la masa del planeta, la masa de la Tierra,

es proporcional también a la masa de la manzana, es decir,

cuanto más grande es la masa del planeta,

cuanto más grande es la masa del objeto,

mayor va a ser la fuerza de atracción,

e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que los separa.

Eso significa que cuanto mayor es la distancia...

-Si subimos por ejemplo la manzana a la estratosfera, ya no se cae.

-Ya no se cae, ahí no habría fuerza gravitatoria.

Por eso vamos flotando y yo, bueno,

yo nunca he estado en el espacio, pero...

-Pero lo has visto en la tele... (RÍEN)

Oye, ¿y la G?

-Bueno, la G es una constante,

que costó bastantes años calcularla

y fue un experimento superchulo de Cavendish

que un día hablaremos de ello.

Es una de las historias también muy interesantes

de la historia de la ciencia.

Entonces, nosotros si vemos la manzana,

nosotros veríamos una fuerza de atracción.

También es muy interesante que es recíproca, es decir,

la misma fuerza que ejerce la Tierra sobre la manzana,

ejerce la manzana sobre la Tierra, es decir,

la manzana también está empujando para arriba a la tierra.

-Lo que pasa es que,

la diferencia de masas es tan grande que no se nota.

-Es como si nosotros vamos andando y chocamos con una mota de polvo,

la mota de polvo sí lo nota, o un mosquito, y nosotros no, bueno,

a no ser que se nos meta por la boca que...

-Y cuando se dice:

"Lo mismo da que sea una manzana que una caja de caudales,

si cae desde el sexto piso, cae a la misma velocidad

y llegan al mismo tiempo".

-Sí, porque ahí afectaría solo la gravedad de la Tierra.

Ese es uno de los experimentos superchulos que,

algún día hablaremos de ellos,

que hizo Galileo Galilei desde la Torre de Pisa.

Por ejemplo, si todo el mundo puede mirar por Internet,

cuando Neil Armstrong llegó a la Luna,

cogió una piedra y una pluma,

la soltó y allí como no hay casi gravidez,

estamos casi en ingravidez, pues cayeron a la vez las dos,

y es una cosa superchula verlo, la verdad.

-Y esas galletas de mantequilla

con pepitas de chocolate

que nos has traído...

-Mala suerte, creo que me las he fundido en el viaje hoy.

Bueno, a mí me encanta hacer un experimento,

porque nosotros sabemos, lo que decíamos antes,

si yo cojo la manzana, a ver tus reflejos, y la suelto...

Se nos cayó, no pasa nada.

-No te preocupes, yo lo recojo.

Esto es un plano inclinado ¿no?

-Sí, esto es un plano inclinado,

si yo pongo la manzana aquí debería bajar.

-Debería rodar hacia abajo.

Bueno, entonces, si nosotros decimos a la manzana que suba, vale,

vamos a decírselo, le tendremos que empujar,

pero ella, por ella sola,

como mucho se quedará, pero bueno...

Nosotros tenemos aquí un experimento que es superchulo,

que yo llamo la rueda que desafía la gravedad.

Entonces, vamos a ver si somos capaces

de desafiar la gravedad.

Vamos a hacer un concurso tú y yo, Salva,

te he pillado aquí de imprevisto

-En principio, si no tienen nada dentro

yo diría que se va a caer hacia abajo ¿no?

-Si yo suelto, pero recuerda,

que se llama la lata que desafía la gravedad.

-Bueno, no lo sé, pero...

-Tú dices que va hacia abajo, ¿no?

Vale, entonces si soltamos la lata, claramente va hacia abajo.

Vale, pero nosotros vamos a intentar conseguir

que vaya hacia arriba,

no sé si alguien en casa dirá: "Esto es imposible".

¿Tú crees que subirá o que no subirá?

-Pues no lo sé, en principio... -Me crees, ¿no?

-Te creo.

Seguramente que haya algún truco que lo explica, pero en principio,

tendría que caer hacia abajo que es lo natural.

-Sería lo natural, pero si la soltamos

nos damos cuenta de que...

-Sube.

-Va para arriba, a mí esto me encanta hacerlo.

Vale, vamos a volver a repetirlo,

a ver si somos capaces de... ¿Sube o baja?

-Bueno, yo creo que ya sube.

-Bueno, sube, pero también podemos hacer que la lata baje.

Entonces, bueno, aquí yo siempre hago la misma pregunta,

¿por qué la lata sube cuando decimos

que la gravedad hace que las cosas bajen?

Si yo suelto la manzana...

No voy a volver a hacerlo, lo prometo...

Si suelto la manzana, la manzana cae,

si yo le digo a la manzana que suba, no sube, sin embargo, esto...

Tenemos dos opciones, la primera opción es magia,

y la segunda opción es cuestión de física.

Yo siempre tengo aquí guardado...

Pero, hoy no te ha tocado trabajar.

Bueno, entonces, la cuestión es ciencia.

Vamos a abrir, ¿qué tiene dentro la lata?,

la rueda que desafía la gravedad,

y lo que tiene es un simple contrapeso.

Entonces el truco es muy sencillo,

lo vamos a mostrar para que lo vea todo el mundo,

si yo dejo el contrapeso de este lado,

aparecerá una fuerza hacia abajo,

que hará que la lata gire hacia la izquierda.

Entonces, bajará.

Sin embargo, si nosotros ponemos el contrapeso, a ver,

se me ha movido, vale,

si ponemos el contrapeso del otro lado,

entonces aparecerá una fuerza hacia abajo,

una fuerza gravitatoria,

y hará que la lata ruede hacia arriba.

Es cuestión de la ley de gravitación universal.

-Cuéntanos cómo se descubrió y todo eso, en fin,

las aplicaciones que tiene.

Porque luego, Einstein, digamos que renovó la...

-Sí, la renovó porque...

por ejemplo, cuando se descubrió el planeta Urano,

entonces se vio que no cumplía la ley de gravitación universal,

entonces fue como un cisma en la ciencia,

¿por qué no se cumplía la ley de gravitación universal?

Pues porque había otro planeta que era Neptuno,

que hacía que tuviese otro movimiento

del que se esperaba,

así también fue como se descubrió Neptuno.

Es una cosa muy curiosa,

viendo el movimiento de los planetas,

y con la ley de gravitación universal,

se pueden descubrir nuevos planetas,

pero también es cierto que, por ejemplo,

Mercurio en su órbita, cuando se acerca mucho al Sol,

va a una gran velocidad,

y ahí no cumple la ley de gravitación universal.

A principios del siglo XX llegó Einstein

con su teoría de la relatividad general,

y suplió ese problemilla que tenía,

por eso traigo esta camiseta tan guay hoy,

la ley de gravitación universal, pero eso ya es...

-Es para otro día.

De todos modos, digamos, que la ley de gravitación universal

lo que demostró es que lo que ocurre en la Tierra,

ocurre también en el cielo, ¿no?

En el firmamento...

-Fue una revolución en la época,

porque en aquella época era como lo que había en la Tierra,

y lo que había fuera,

y se dieron cuenta que la misma ley

que explica el movimiento de esta manzana,

es la misma ley que explica el movimiento de Marte

o de la Tierra alrededor del Sol.

Es decir, que el universo está regido,

todo el universo está regido por las mismas leyes,

y fue una revolución porque antes, claro,

nos creíamos como especiales, por así decirlo.

-Y ¿cómo fue el descubrimiento de Newton?

Es decir, ¿él cómo llegó a esa conclusión?

¿Cómo lo supo?

-Es muy interesante esa pregunta porque también es otra cosa

que me encanta contarle a los chavales siempre,

siempre se cuenta la misma historia que conté yo antes,

que Newton estaba ahí tumbado en el césped durmiendo la siesta...

La historieta esa, que, por cierto, fue una historia que le encantó,

que la engordó Newton, realmente.

Newton, sabía, era un poco ególatra, como todos los grandes genios,

sabía que Arquímedes tenía su historia de la bañera,

de salir gritando: "¡Eureka!",

Galileo Galilei la de la Torre de Pisa,

tenían historias guays,

y si él quería pasar a la historia de la ciencia tenía...

-Tenía que inventarse una buena anécdota.

-Todos tenemos que tener nuestra buena anécdota, entonces,

él promovió la historia de la manzana.

Entonces, se supone que un día sí que le cayó la manzana encima,

y entonces, a lo mejor le dio la idea,

pero tardó, dicen, que casi tres años

en desarrollar esta fórmula.

Y es una cosa que me gusta también contarles a los chavales

porque ahora pensamos que es todo superrápido...

-Se le cayó la manzana en la cabeza

y ya le apareció la luz y la fórmula.

Estuvo dos años trabajando en ello...

-Los genios tienen la idea,

pero luego tienen que trabajar en ella.

Es algo muy importante, a nadie se nos viene...

Por muy buenas ideas que tengamos, si no trabajamos en ellas,

se nos van.

-Otro aspecto interesante,

es la relación de Halley y de Newton,

porque si no llega a ser porque Halley le pregunta a Newton,

nunca hubiéramos sabido...

-Sí, porque Newton era muy receloso de enseñar sus trabajos,

no le gustaba que la gente viese sus trabajos,

y gracias a Halley descubrimos esta ley

que hacía 20 años que Newton ya la había desarrollado.

También le pasó algo parecido con lo de Leibniz y Newton,

que también la había desarrollado antes, y como no lo publicó,

a lo mejor llegó tarde...

-Por eso se enfadó tanto, ¿no?

Y decía que le había copiado.

-Porque él ya lo tenía hecho de muchos años atrás,

pero no lo había publicado.

-Muchas gracias. -Gracias a ti.

(Música)

Aprendemos en casa - De 14 a 16 años - Programa 6: Matemáticas

30 mar 2020

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